IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> найти базис пространства
Stassy
сообщение 20.2.2009, 15:09
Сообщение #1


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Вот такое задание:
найти базис пространства <x1,x2,x3,x4> и координаты векторов x1,x2,x3,x4 в найденном базисе:
x1=(-1,4,-3,-2), x2=(3,-7,5,3), x3=(3,-2,1,0), x4=(-4,1,0,1).

Подскажите правильно ли будет следующее решение:
составляю матрицу
-1 3 3 -4
4 -7 -2 1
-3 5 1 0
-2 3 0 1
преобразовываю :
-1 3 3 -4
0 -1 -2 3
0 0 0 0
0 0 0 0

ранг = 2, x1, x2 - базис, x3=c1, x4=c2.
Составляю систему:
-x1+3x2+3c1-4c2=0
-x2-2c1+3c2=0
отсюда
x1=-3c1+5c2
x2=-2c1+3c2
x3=c1
x4=c2
Координаты векторов транспонированные: x1=(-3, -2, 1, 0 ), x2=(5,3,0,1), x3, x4 - нулевые векторы?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 20.2.2009, 15:46
Сообщение #2


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 20.2.2009, 17:09) *

Вот такое задание:
найти базис пространства <x1,x2,x3,x4> и координаты векторов x1,x2,x3,x4 в найденном базисе:
x1=(-1,4,-3,-2), x2=(3,-7,5,3), x3=(3,-2,1,0), x4=(-4,1,0,1).

Подскажите правильно ли будет следующее решение:
составляю матрицу
-1 3 3 -4
4 -7 -2 1
-3 5 1 0
-2 3 0 1
преобразовываю :
-1 3 3 -4
0 -1 -2 3
0 0 0 0
0 0 0 0

строки местами не меняли? А... вы координаты векторов по столбцам записывали. Хм... тогда что-то не соображу. Если вам будет нетяжело, запишите координаты векторов построке и приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
Цитата
ранг = 2, x1, x2 - базис, x3=c1, x4=c2.
Составляю систему:
-x1+3x2+3c1-4c2=0
-x2-2c1+3c2=0
отсюда
x1=-3c1+5c2
x2=-2c1+3c2
x3=c1
x4=c2

Что это за система?
Цитата
Координаты векторов транспонированные: x1=(-3, -2, 1, 0 ), x2=(5,3,0,1), x3, x4 - нулевые векторы?

Т.е. в базисе {x1, x2} векторы x3, x4 нулевые. Так?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 20.2.2009, 16:19
Сообщение #3


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Если записывать по строкам:
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1
после преобразований:
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0

А систему записала так, как будто решаю СЛУ.
Или как мне лучше решить это задание?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 20.2.2009, 16:28
Сообщение #4


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 20.2.2009, 18:19) *

Если записывать по строкам:
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1
после преобразований:
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0

Строки меняли местами? Т.е. делаем вывод, что базис состоит из двух векторов. А можете все преобразования для матрицы записать. ПРосто, чтобы понять, какие векторы являются ЛЗ?!
Цитата
А систему записала так, как будто решаю СЛУ.

какую?

Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 20.2.2009, 16:49
Сообщение #5


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Строчки не меняю местами.
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1
======
S2-3S3 и S4-4S1
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
3 -2 1 0
0 -15 12 9
======
S4-3S2 и S3-3S1
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 10 -8 -6
0 0 0 0
======
S3+2S2
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0

2 вектора в базисе.
Слу решала по первым 2м строчкам полученной матрицы, из учета, что 2 вектора в базисе.
Что-то подобное делается тут: http://www.toehelp.ru/exampls/math/kuznecov/X.03.20.GIF
Но не знаю правильно ли это в данном случае.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 20.2.2009, 17:11
Сообщение #6


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 20.2.2009, 18:49) *

Строчки не меняю местами.
-1 4 -3 -2
3 -7 5 3
3 -2 1 0
-4 1 0 1
======
S2-3S3 и S4-4S1
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
3 -2 1 0
0 -15 12 9
======
S4-3S2 и S3-3S1
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 10 -8 -6
0 0 0 0
======
S3+2S2
-1 4 -3 -2
0 -5 4 3
0 0 0 0
0 0 0 0

т.е. линейно независимыми являются такие векторы: {x1,x2}, {x1,x3}, {x1,x4}. Это возможные базисы заданного подпространства. Выбирайте любой из них и находите координаты оставшихся двух векторов в выбранном базисе. Для этого надо вспомнить определение "координат векотра в базисе".
Цитата
Что-то подобное делается тут: http://www.toehelp.ru/exampls/math/kuznecov/X.03.20.GIF
Но не знаю правильно ли это в данном случае.

Мне кажется, что для этого примера другое задание.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 20.2.2009, 17:40
Сообщение #7


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Тогда базис беру {x1,x2}
Значит координаты x1,x2 остаются прежними?
и находим только x3,x4?
то есть:
x3=ax1+bx2
составляем систему(по правилам нахождения координат вектора):
-a+3b=3
4a-7b=-2
отсюда:
b=2, a=3
и x3=(3,-2,1,0)
Аналогично находим x4.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 20.2.2009, 18:55
Сообщение #8


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 20.2.2009, 19:40) *

Тогда базис беру {x1,x2}
Значит координаты x1,x2 остаются прежними?

нет. Находите также координаты векторов х1, х2 в базисе х1, х2 (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Цитата
то есть:
x3=ax1+bx2
составляем систему(по правилам нахождения координат вектора):
-a+3b=3
4a-7b=-2
отсюда:
b=2, a=3

не поняла, как такое получили?
Цитата
Аналогично находим x4.

да
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 20.2.2009, 19:15
Сообщение #9


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



x3=ax1+bx2
тогда
ax11+bx21=x31
ax12+bx22=x32,
где из начальных данных: x11=-1, x21=3, x12=4, x22=-7, x31=3, x32=-2

получается
-a+3b=3
4a-7b=-2

нет?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 20.2.2009, 19:22
Сообщение #10


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 20.2.2009, 21:15) *

x3=ax1+bx2
тогда
ax11+bx21=x31
ax12+bx22=x32,
где из начальных данных: x11=-1, x21=3, x12=4, x22=-7, x31=3, x32=-2

но изначально координат-то 4?!
Система получится по-больше, но решение такое.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 21.2.2009, 11:26
Сообщение #11


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Да, спасибо, с системой все стало ясно!
Непонятно только как найти координаты x1 и x2 в базисе {x1,x2}, так как
они образуют базис, значит они линейно-независимы.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 21.2.2009, 11:35
Сообщение #12


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 21.2.2009, 13:26) *

Непонятно только как найти координаты x1 и x2 в базисе {x1,x2}, так как

А если представить их в таком виде: х1=1*х1+0*х2?!
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 21.2.2009, 11:49
Сообщение #13


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 21.2.2009, 16:35) *

А если представить их в таком виде: х1=1*х1+0*х2?!

Получаются те же самые координаты?
то есть x1=x1, x2=x2
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 21.2.2009, 11:55
Сообщение #14


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Stassy @ 21.2.2009, 13:49) *

Получаются те же самые координаты?
то есть x1=x1, x2=x2

Почему. Если в базисе х1, х2, имеет место разложение х1=1*х1+0*х2, то какие координаты в этом базисе у вектора х1?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 21.2.2009, 12:12
Сообщение #15


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Цитата(tig81 @ 21.2.2009, 16:55) *

Почему. Если в базисе х1, х2, имеет место разложение х1=1*х1+0*х2, то какие координаты в этом базисе у вектора х1?

Ааааа, то есть x1=(1,0) ; x2=(0,1)
и все векторы в новом базисе будут состоять из 2х координат, так как базис состоит из 2х векторов?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 21.2.2009, 12:20
Сообщение #16


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Получается, что (IMG:style_emoticons/default/yes.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Stassy
сообщение 21.2.2009, 12:23
Сообщение #17


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 20
Регистрация: 20.2.2009
Город: Ижевск
Учебное заведение: ИжГТУ
Вы: студент



Ура, спасибо большое что распутали меня (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 21.2.2009, 12:33
Сообщение #18


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 17.7.2024, 12:27

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru