Помогите сосчитать предел: Lim{n->Infinite} (1+2^2+3^3+...+n^n)/n^n

А мне кажется,можно вот так сделать:
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < n*(1+n+n^2+...+n^(n-1))/(n^n);
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < n*(n^n-1)/((n^n)*(n-1));
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < (n^(n+1) - n)/(n^(n+1) - n^n);
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < 1 + (n^n - n)/(n^(n+1) - n^n).
Предел у правой части тоже 1,значит и у искомой он равен 1.Или я где-то ошибаюсь?..

Спасибо большое, действительно красивое решение (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)