Версия для печати темы

Автор: bull 19.11.2008, 18:04

Помогите сосчитать предел: Lim{n->Infinite} (1+2^2+3^3+...+n^n)/n^n

Автор: tig81 19.11.2008, 18:32

http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules
http://www.reshebnik.ru/solutions/1/

Автор: bull 20.11.2008, 0:02

Уважаемый tiq81. Я внимательно прочитал примеры решения но так и не понял как решить свой. Если есть возможность- подскажите пож как его решать. Извините за дремучесть.

Автор: Ярослав_ 20.11.2008, 1:31

tig81 девушка. Ну что ж сделать, таковы правила.
Может так нужно поступить: lim_{x -> +00} (1+2^2+3^3+...+n^n)/n^n= lim_{x -> +00}1/n^n+ lim_{x -> +00}2^2/n^n+ lim_{x -> +00}3^3/n^n+...+ lim_{x -> +00}n^n/n^n Итого у меня вышла единица. Годится?

Автор: bull 20.11.2008, 3:24

Мне кажется нет. . При переходе n->Infinite количество слагаемых в общем члене последовательности стремится к бесконечности, т. е . фактически дело в суммировании ряда в числителе. Кроме того, (1+2^2+3^3+...+n^n)/n^n<=(n+n^2+n^3+...+n^n)/n^n=
(n^(n+1)-n)*(n-1)/n^n<n/(n-1). Мажорирующая последовательность сходится, значит сходится и исходная последовательность (кажется нигде не ошибся). А с вычислением предела проблемы.

Автор: venja 20.11.2008, 6:17

Здесь примеры не помогут. Задача явно нестандартная.
Думаю, надо поискать формулу для суммы в числителе.

Автор: граф Монте-Кристо 20.11.2008, 7:09

А мне кажется,можно вот так сделать:
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < n*(1+n+n^2+...+n^(n-1))/(n^n);
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < n*(n^n-1)/((n^n)*(n-1));
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < (n^(n+1) - n)/(n^(n+1) - n^n);
1 < (1+2^2+...+n^n)/(n^n) < 1 + (n^n - n)/(n^(n+1) - n^n).
Предел у правой части тоже 1,значит и у искомой он равен 1.Или я где-то ошибаюсь?..

Автор: venja 20.11.2008, 13:19

Все верно и красиво . Я не догадался именно так оценить сверху, заменяя основания степеней на n.

Автор: bull 20.11.2008, 13:37

Спасибо большое, действительно красивое решение

Автор: граф Монте-Кристо 20.11.2008, 14:07

Благодарю

Автор: tig81 21.11.2008, 11:11

Согласна, но свои соображения автор топика не привел.

Автор: Руководитель проекта 22.11.2008, 6:18

Но при этом он помогал другим участникам форума. tig81, вы иногда излишне суровы . Да и пример действительно не такой уж и стандартный.

Автор: tig81 22.11.2008, 7:34

Где тут у вас можно перевоспитаться? Или только непосильным трудом?

Автор: Руководитель проекта 22.11.2008, 12:04

Это даже не критика была, а всего лишь «шутка юмора»

Автор: tig81 22.11.2008, 12:18

А у меня в ответ "шутка юмора" не получилась!?

Автор: venja 22.11.2008, 12:35

Но в каждой шутке есть ....

Автор: tig81 22.11.2008, 12:42

Таки трудовых повинностей не избежать.

Автор: Руководитель проекта 22.11.2008, 14:23

... доля шутки.


Просто продолжайте посещать наш форум

Автор: venja 22.11.2008, 16:37

А остальное...