Еще раз всем доброго времени суток. Села решать последние 5 примеров из последней контрольной за этот семместр. Наткнулась на большие и не красивые производные.
Начинаю решать и понимаю, что сама себя начинаю запутывать.
Решила решать последовательно и прошу Вас, если не сложно, подсказывайте так или нет, правильно я решаю или нет. Спасибо заранее (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Первый пример такой:
y=arctg^4 (7x/3) + (2-sin3x)^8 * e^-5x.

Я подумала, что будет проще мне их по отдельности найти. Попыталась найти первую половину:
[arctg^4 (7x/3)]'= 4 arctg^3(7x/3) * 1/(1+(7x/3)^2) * (7x/3)'=4 arctg^3(7x/3) * 7/9 / (9+49x^2) /9=
4 arctg^3(7x/3) * 7/(9+49x^2)

Правильно или нет?

И вторая половинка...
т.к. (ln5)=0, то остается
3tg^2(2-3x)/4 * ((tg(2-3x)/4)' * (ln5) = 3tg^2(2-3x)/4* sec^2 (2-3x)/4*(-3/4)*(ln5)...
Правильно?

почему ln5=0? Или имеется в виду производная?А зачем здесь это надо?

да

Извиняюсь не поставила штрих там.
Да производная Ln5=0. Если я не ошиблась.



не поняла вопроса.... (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Что надо?

зачем надо, что производная от ln5 равна нулю?

а это я просто написала....

Я в этой половинке могу ещё что-нибудь сделать?

Ну разве что записать так: -9ln5*tg^2[(2-3x)/4]sec^2[(2-3x)/4]/4. Хотя, как мне кажется, можете оставлять и так.

хорошо. Спасибо.

ещё один пример:
[(arccos4x)^(sqrt(5x))]'=(arccos4x)^(sqrt(5x)) * ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)).

Верно?

Нет.Представьте функцию как экспоненту в степени логарифм арккосинуса умножить на корень.

если честно не поняла немного....
вместо
(arccos4x)^(sqrt(5x))
будет
e^ln[ (arccos4x) * (sqrt(5x))]
?

Для решения данного примера надо воспользоваться либо формулой (u^v)'=v*u^(v-1)*u'+u^v*lnu*v', либо логарифмическим дифференцированием:
y=(arccos4x)^(sqrt(5x)) => lny=sqrt(5x)*lnarccos4x => y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...

или ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)) надо
"Представьте функцию как экспоненту в степени логарифм арккосинуса умножить на корень"

не понятно немного.....
то что мы прологорифмировали обе части по основанию е я поняла...вот это не поняла, когда уже дифференцировать стали....
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...

(lny)'=y'/y
Тогда получаем, что
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)'
Отсюда находим y':
y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'
Вместо функции у подставляем ее выражение, тогда
y'=(arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
Осталось найти производную скобки

смотрю в тетрадь свою по математике как раз на такую же вещь и мы когда пытались вывести формулу такой производной, то делали так:
y=a^u
ln y = ln(a^u)
ln y= u*ln a
y'/y=lna*u'
y'=y*lna*u'
y'=a^u*lna*u'...

Я не поняла.....

здесь а - константа. А задание, котрое вы рассматриваете, это функция в степени функция. Поэтому эта формула здесь не работает.

Т.е. производную от данной функции берете по формуле (смотрите, я ее вам написала), либо используя логарифмы.

все, дошло. спасибо. я забыла, что там а константа...

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

получила
(arccos4x)^(sqrt(5x))*[5/2sqrt(5x)*lnarccos4x - sqrt(5x)/(arccos4x*sqrt(1-16x^2))]
Правильно?

Когда брали производную от аркосинуса, умножали на производную от его аргумента? По-моему, во втором слагаемом потеряна 4.

забыла

спасибо. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

осталось 2 примера... (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)
x^2cos(2x-3y)=5-xy^4.
Как я понимаю сначала надо выразить у из всей этой каши? или нет? Большой и не красивый пример (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)