Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Дифференцирование (производные) _ Производные :(
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 17:48
Еще раз всем доброго времени суток. Села решать последние 5 примеров из последней контрольной за этот семместр. Наткнулась на большие и не красивые производные.
Начинаю решать и понимаю, что сама себя начинаю запутывать.
Решила решать последовательно и прошу Вас, если не сложно, подсказывайте так или нет, правильно я решаю или нет. Спасибо заранее 
Первый пример такой:
y=arctg^4 (7x/3) + (2-sin3x)^8 * e^-5x.
Я подумала, что будет проще мне их по отдельности найти. Попыталась найти первую половину:
[arctg^4 (7x/3)]'= 4 arctg^3(7x/3) * 1/(1+(7x/3)^2) * (7x/3)'=4 arctg^3(7x/3) * 7/9 / (9+49x^2) /9=
4 arctg^3(7x/3) * 7/(9+49x^2)
Правильно или нет?
Автор: tig81 12.11.2008, 17:56
Я подумала, что будет проще мне их по отдельности найти. Попыталась найти первую половину:
[arctg^4 (7x/3)]'= 4 arctg^3(7x/3) * 1/(1+(7x/3)^2) * (7x/3)'=4 arctg^3(7x/3) * 7/9 / (9+49x^2) /9=
4 arctg^3(7x/3) * 7/(9+49x^2)
Там, где выделено красным, непонятно. Откуда 9?
У меня получилось 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)
Автор: EVGENII 12.11.2008, 17:58
Я подумала, что будет проще мне их по отдельности найти. Попыталась найти первую половину:
[arctg^4 (7x/3)]'= 4 arctg^3(7x/3) * 1/(1+(7x/3)^2) * (7x/3)'=4 arctg^3(7x/3) * 7/9 / (9+49x^2) /9=
4 arctg^3(7x/3) * 7/(9+49x^2)
Правильно или нет?
почему там не 7/3 ?
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 18:23
так, поняла... я наверное просто не туда глянула и использовала другую формулу...
значит у этой гениальной половинки ответ 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)....
Теперь вторая не менее "веселая" половинка...
(2-sin3x)^8 * e^(-5x)= [(2-sin3x)^8]'* e^(-5x) + [e^(-5x)]'*(2-sin3x)^8 = 8 (2-sin3x)^7 * (2-sin3x)' * e^(-5x) + (-5x)' * e^(-5x) * (2-sin3x)^8 = 8 (2-sin3x)^7 * (-cos3x)*3*e^(-5x) -x * e^(-5x) * (2-sin3x)^8....
В этом кусочке пока нет ошибок?
Автор: граф Монте-Кристо 12.11.2008, 18:26
Производная от (-5х) равна -5.
Автор: tig81 12.11.2008, 18:27
значит у этой гениальной половинки ответ 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)....
Там, где выделено красным, непонятно. Откуда 9?
У меня получилось 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)
В этом кусочке пока нет ошибок?
Откуда х? Еще раз вычислите (-5x)'.
Автор: EVGENII 12.11.2008, 18:27
так, поняла... я наверное просто не туда глянула и использовала другую формулу...
значит у этой гениальной половинки ответ 84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2)....
Теперь вторая не менее "веселая" половинка...
(2-sin3x)^8 * e^(-5x)= [(2-sin3x)^8]'* e^(-5x) + [e^(-5x)]'*(2-sin3x)^8 = 8 (2-sin3x)^7 * (2-sin3x)' * e^(-5x) + (-5x)' * e^(-5x) * (2-sin3x)^8 = 8 (2-sin3x)^7 * (-cos3x)*3*e^(-5x) -x* e^(-5x) * (2-sin3x)^8....
В этом кусочке пока нет ошибок?
там 5 должно быть, а не x
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 18:33
пасибо) моя "внимательность".... 
там получается
24 (2- sin 3x) ^ 7 * (- cos3x) * e ^ (-5x) - 5* e ^ (-5x) * (2-sin 3x) ^8...
Я согу вынести
e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7...
Останется
(e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7))*(24(-cos3x)-5(2-sin3x))... Тут нигде не ошиблась?
Автор: граф Монте-Кристо 12.11.2008, 18:37
24 (2- sin 3x) ^ 7 * (- cos3x) * e ^ (-5x) - 5* e ^ (-5x) * (2-sin 3x) ^8...
Я согу вынести
5* e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7...
Останется
(5* e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7))*(19(-cos3x)-(2-sin3x))...
Ну и ну...
Автор: tig81 12.11.2008, 18:39
пасибо) моя "внимательность"....
там получается
24 (2- sin 3x) ^ 7 * (- cos3x) * e ^ (-5x) - 5* e ^ (-5x) * (2-sin 3x) ^8...
Я согу вынести
5* e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7...
Выносите правильно, а пишите неправильно.
(e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7))*(24(-cos3x)-5(2-sin3x))... Тут нигде не ошиблась?
Хм... я уже видно после корректировки прочитала.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 18:46
извиняюсь.. не везде исправила(
(e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7))*(24(-cos3x)-5(2-sin3x)) = (e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7)) * (5sin3x - 24cos3x -10)...
С этой красотой ещё что-нибудь можно сделать?
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:00
ответ у этого примера тогда будет:
84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2) + (e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7)) * (5sin3x - 24cos3x -10)
???
или с ним что-то ещё можно сделать?
Автор: tig81 12.11.2008, 19:05
ответ у этого примера тогда будет:
84arctg^3(7x/3)/(9+49x^2) + (e^(-5x) * (2- sin 3x) ^ 7)) * (5sin3x - 24cos3x -10)???
или с ним что-то ещё можно сделать?
оставляйте так.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:08
спасибо, один пример победили....
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:23
У меня есть еще второй пример (и ещё помимо него 3 О_о... Я Вас замучаю наверное:( )
y=(2x-x^4)/(3cos2x) - (ln5) td^3((2-3x)/4)...
Первая половинка:
y'=((2x-x^4)'*3cos2x - (3cos2x)'*(2x-x^4))/(3cos2x)^2= ((2-4x^3)*3cos2x + 6sin2x*(2x-x^4))/(9cos^2(2x)) = [6{(1-2x^3)*cos2x+sin2x*(2x-x^4)}]/(9cos^2(2x)) = 2/3* ((1-2x^3)*cos2x+sin2x*(2x-x^4))/(cos^2(2x))...
Правильно?
Автор: tig81 12.11.2008, 19:32
У меня есть еще второй пример (и ещё помимо него 3 О_о... Я Вас замучаю наверное:( )
y=(2x-x^4)/(3cos2x) - (ln5) td^3((2-3x)/4)...
Первая половинка:
y'=((2x-x^4)'*3cos2x - (3cos2x)'*(2x-x^4))/(3cos2x)^2= ((2-4x^3)*3cos2x + 6sin2x*(2x-x^4))/(9cos^2(2x))
вроде так
не понятно, что это пытаетесь сделать
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:38
не понятно, что это пытаетесь сделать
Это я из скобки (2-4x^3) вынесла 2... А потом вынесла 6. И сократила её с 9.
Автор: tig81 12.11.2008, 19:44
Это я из скобки (2-4x^3) вынесла 2... А потом вынесла 6. И сократила её с 9.
мне кажется, на упрощения можете сильно не тратить времени. Оставляйте все в таком виде, т.к. все равно красиво ничего не получиться.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:47
поэтому и осталось 2/3... Или не правильный ход был?
cos^2(2x) не надо раскладывать? Мне кажется он картину красивее не сделает...
мне кажется, на упрощения можете сильно не тратить времени. Оставляйте все в таком виде, т.к. все равно красиво ничего не получиться.
Спасибо. Хорошо.
Автор: tig81 12.11.2008, 19:49
поэтому и осталось 2/3... Или не правильный ход был?
праавильный, но, повторюсь, мне кажется ненужный.
я тоже так думаю.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:50
И вторая половинка...
т.к. (ln5)=0, то остается
3tg^2(2-3x)/4 * ((tg(2-3x)/4)' * (ln5) = 3tg^2(2-3x)/4* sec^2 (2-3x)/4*(-3/4)*(ln5)...
Правильно?
Автор: tig81 12.11.2008, 19:54
И вторая половинка...
т.к. (ln5)=0
почему ln5=0? Или имеется в виду производная?А зачем здесь это надо?
Правильно?
да
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 19:58
почему ln5=0? Или имеется в виду производная?А зачем здесь это надо?
Извиняюсь не поставила штрих там.
Да производная Ln5=0. Если я не ошиблась.
А зачем здесь это надо?
не поняла вопроса....
Что надо?
Автор: tig81 12.11.2008, 20:01
не поняла вопроса....
Что надо?зачем надо, что производная от ln5 равна нулю?
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:03
а это я просто написала....
Я в этой половинке могу ещё что-нибудь сделать?
Автор: tig81 12.11.2008, 20:07
Я в этой половинке могу ещё что-нибудь сделать?
Ну разве что записать так: -9ln5*tg^2[(2-3x)/4]sec^2[(2-3x)/4]/4. Хотя, как мне кажется, можете оставлять и так.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:12
хорошо. Спасибо.
ещё один пример:
[(arccos4x)^(sqrt(5x))]'=(arccos4x)^(sqrt(5x)) * ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)).
Верно?
Автор: граф Монте-Кристо 12.11.2008, 20:24
[(arccos4x)^(sqrt(5x))]'=(arccos4x)^(sqrt(5x)) * ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)).
Нет.Представьте функцию как экспоненту в степени логарифм арккосинуса умножить на корень.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:27
если честно не поняла немного....
вместо
(arccos4x)^(sqrt(5x))
будет
e^ln[ (arccos4x) * (sqrt(5x))]
?
Автор: tig81 12.11.2008, 20:28
хорошо. Спасибо.
ещё один пример:
[(arccos4x)^(sqrt(5x))]'=(arccos4x)^(sqrt(5x)) * ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)).
Верно?
Для решения данного примера надо воспользоваться либо формулой (u^v)'=v*u^(v-1)*u'+u^v*lnu*v', либо логарифмическим дифференцированием:
y=(arccos4x)^(sqrt(5x)) => lny=sqrt(5x)*lnarccos4x => y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:29
или ln (arccos4x) * 5/(2*sqrt(5x)) надо
"Представьте функцию как экспоненту в степени логарифм арккосинуса умножить на корень"
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:40
Для решения данного примера надо воспользоваться либо формулой (u^v)'=v*u^(v-1)*u'+u^v*lnu*v', либо логарифмическим дифференцированием:
y=(arccos4x)^(sqrt(5x)) => lny=sqrt(5x)*lnarccos4x => y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
не понятно немного.....
то что мы прологорифмировали обе части по основанию е я поняла...вот это не поняла, когда уже дифференцировать стали....
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
Автор: tig81 12.11.2008, 20:44
не понятно немного.....
то что мы прологорифмировали обе части по основанию е я поняла...вот это не поняла, когда уже дифференцировать стали....
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)' => y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)' = (arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
(lny)'=y'/y
Тогда получаем, что
y'/y=(sqrt(5x)*lnarccos4x)'
Отсюда находим y':
y'=y*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'
Вместо функции у подставляем ее выражение, тогда
y'=(arccos4x)^(sqrt(5x))*(sqrt(5x)*lnarccos4x)'=...
Осталось найти производную скобки
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:49
смотрю в тетрадь свою по математике как раз на такую же вещь и мы когда пытались вывести формулу такой производной, то делали так:
y=a^u
ln y = ln(a^u)
ln y= u*ln a
y'/y=lna*u'
y'=y*lna*u'
y'=a^u*lna*u'...
Я не поняла.....
Автор: tig81 12.11.2008, 20:53
смотрю в тетрадь свою по математике как раз на такую же вещь и мы когда пытались вывести формулу такой производной, то делали так:
y=a^u
ln y = ln(a^u)
ln y= u*ln a
y'/y=lna*u'
y'=y*lna*u'
y'=a^u*lna*u'...
Я не поняла.....
здесь а - константа. А задание, котрое вы рассматриваете, это функция в степени функция. Поэтому эта формула здесь не работает.
Т.е. производную от данной функции берете по формуле (смотрите, я ее вам написала), либо используя логарифмы.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 20:56
все, дошло. спасибо. я забыла, что там а константа...
Автор: tig81 12.11.2008, 20:58
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 21:04
получила
(arccos4x)^(sqrt(5x))*[5/2sqrt(5x)*lnarccos4x - sqrt(5x)/(arccos4x*sqrt(1-16x^2))]
Правильно?
Автор: tig81 12.11.2008, 21:10
получила
(arccos4x)^(sqrt(5x))*[5/2sqrt(5x)*lnarccos4x - sqrt(5x)/(arccos4x*sqrt(1-16x^2))]
Правильно?
Когда брали производную от аркосинуса, умножали на производную от его аргумента? По-моему, во втором слагаемом потеряна 4.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 21:18
забыла
спасибо.
осталось 2 примера...
x^2cos(2x-3y)=5-xy^4.
Как я понимаю сначала надо выразить у из всей этой каши? или нет? Большой и не красивый пример
Автор: tig81 12.11.2008, 21:29
x^2cos(2x-3y)=5-xy^4.
Как я понимаю сначала надо выразить у из всей этой каши? или нет? Большой и не красивый пример
вам надо найти производную функции, заданной неявно. Поищите, подобные примеры неоднократно обсуждались на форуме.
Автор: ЕленаСавельева 12.11.2008, 21:34
хорошо. спасибо
Автор: tig81 12.11.2008, 21:57
пожалуйста.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)