Привет, есть задачка:
"Периметр равнобедренного треугольника равен 2Р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты был наибольшим?"
Но что-то в голову никакие мысли не лезут по поводу решения, может кто-то подскажет? (IMG:style_emoticons/default/wink.gif)

Пусть r - радиус основания конуса, тогда основание тр-ка 2r, боковая сторона (2p-2r)/2=p-r (поэтому r может меняться от 0 до р),
а высота по Пифагору h=sqrt(p^2-2pr).
Объем конуса V( r)=(1/3)*pi*r^2*sqrt(p^2-2pr).
Искать максимум этой функции при r из [0,p].
Проще искать максимум квадрата объема (там нет корней)
[V( r)]^2=(1/9)*pi^2*r^4*(p^2-2pr).
Максимум все равно будет достигаться на одном и том же r.
Производная от V^2:
(1/9)*pi^2*p*(4*p*r^3-10*r^4)=0
2 корня из нужного интервала:
r=0 и r=2*p/5
Легко видеть, что максимум - второй корень.