Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

Образовательный студенческий форум _ Дифференцирование (производные) _ Решение геометрической задачи на нахождение наибольшего значения

Автор: ANDYGO 1.4.2008, 7:09

Привет, есть задачка:
"Периметр равнобедренного треугольника равен 2Р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты был наибольшим?"
Но что-то в голову никакие мысли не лезут по поводу решения, может кто-то подскажет? wink.gif

Автор: venja 1.4.2008, 7:25

Пусть r - радиус основания конуса, тогда основание тр-ка 2r, боковая сторона (2p-2r)/2=p-r (поэтому r может меняться от 0 до р),
а высота по Пифагору h=sqrt(p^2-2pr).
Объем конуса V( r)=(1/3)*pi*r^2*sqrt(p^2-2pr).
Искать максимум этой функции при r из [0,p].
Проще искать максимум квадрата объема (там нет корней)
[V( r)]^2=(1/9)*pi^2*r^4*(p^2-2pr).
Максимум все равно будет достигаться на одном и том же r.
Производная от V^2:
(1/9)*pi^2*p*(4*p*r^3-10*r^4)=0
2 корня из нужного интервала:
r=0 и r=2*p/5
Легко видеть, что максимум - второй корень.

Автор: ANDYGO 2.4.2008, 15:06

Спасибо большое!

Автор: venja 2.4.2008, 17:16

Пожалуйста smile.gif

Автор: flatron 26.4.2011, 15:51

Привет, подскажите пожалуста решение задачки (условия немного похожи):
"Периметр равнобедренного треугольника равен 2Р. Каково должно быть его основание, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?"


Автор: tig81 26.4.2011, 15:55

Что делали? Что не получается?
Тем более подобная задача решена выше подробно.

Автор: flatron 28.4.2011, 1:18

А и в правду, чет я решение то не посмотрел))))
Теперь все понятно)))

Автор: tig81 28.4.2011, 10:07

Это хорошо.

Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)