Найти область сходимости функционального ряда
((4^n)*sin^2n(x))/n^2

Я нашел радиус по формуле
R= lim|Un/Un+1|, то есть
R = lim [(4^n)*(n+1)^2]/[(n^2)*(4^n)*4] и в итоге получил R=1/4

А что потом делать с sin^2n?
Или так и будет -1/4<sinx<1/4???

Да нет, конечно. Просто пример нестандартный.
Попробуйте радикальный признак Коши. Исследуйте ряд из модулей
|Bn|=|x-4|^(n^2)/n^(n+1)

корень n-ой степени[|Bn|]=|x-4|^n/[n*корень n-ой степени(n)]
Теперь считайте предел в зависимомти от х и смотрите, когда он < 1 (там ряд сходится)