Версия для печати темы

Автор: Mercury 25.3.2008, 11:26

Найти область сходимости функционального ряда
((4^n)*sin^2n(x))/n^2

Я нашел радиус по формуле
R= lim|Un/Un+1|, то есть
R = lim [(4^n)*(n+1)^2]/[(n^2)*(4^n)*4] и в итоге получил R=1/4

А что потом делать с sin^2n?
Или так и будет -1/4<sinx<1/4???

Автор: Black Ghost 25.3.2008, 14:58

((4^(n+1))*sin^2(n+1)(x))/(n+1)^2
lim______________________________ <1
((4^n)*sin^2n(x))/n^2
-должно быть так, чтобы ряд сходился (по признаку Даламбера)

lim... = 4* sin^2 (x) <1
-1/2<sinx<1/2
-П/6<x<П/6

Автор: venja 25.3.2008, 15:48

Проще всего обозначить у=sin^2(x), тогда относительно у получится обычный степенной ряд

((4^n)*y^n/n^2
Его исследовать традиционно и получить
-1/4<y<1/4
и далее как у 'Black Ghost'



Забыли про периоды

Автор: Black Ghost 25.3.2008, 16:05

Ах да... совсем забыл про периоды

Автор: Mercury 25.3.2008, 16:42

Большое спасибо . Всё оказалось намного проще.
А вот с другим примером примерно тоже самое

[(x-4)^n^2]/n^(n+1)
Использовать признак Коши (радикальный) не получается т.к. не могу взять корень из n^(n+1)

Я нашел радиус как в прошлом примере он равен R=e
но возникает опять тот же вопрос
-е<x-4<e
или
-sqrt(e)<x-4<sqrt(e)

Автор: venja 25.3.2008, 17:06

Здесь радиус так просто не найти. У этого степенного ряда почти все коэффициенты при степенях (х-4) равны 0. Не нуль только при степенях 1,4,9,16,... . Поэтому формулу для a(n) Вам не вывести (для того, чтобы потом искать R по Даламберу или Коши).

n^2 - весь в показателе степени?

Автор: Mercury 25.3.2008, 17:40

Не понял вопроса.
Может я не понятно написал пример...
Повторюсь
в числителе ((x-4)^n)^2
а в знаменателе n^(n+1)

Автор: Mercury 25.3.2008, 18:27

А если так попробывать?



Эскизы прикрепленных изображений

Автор: venja 26.3.2008, 3:55

Совсем запутали.
Если

то это означает, что в числителе ((x-4)^n)^2=(x-4)^(2n)=((x-4)^2)^n
.
Тогда обозначайте у=(x-4)^2
и получите относительно у обычный степенной ряд. Там можно строить Cn,...
В прикрепленном файле у Вас n^2 - весь в показателе степени.
Это сложнее. Тогда, как я писал, почти все Cn будут нулями, а не то, что Вы пишете.

Автор: Mercury 26.3.2008, 4:33

Да у меня n^2 - весь в показателе степени.
И если,почти все Cn будут нулями, это следует, что ряд расходится на всей числовой оси?
Или пример не имеет решения?

Автор: venja 26.3.2008, 7:29

Да нет, конечно. Просто пример нестандартный.
Попробуйте радикальный признак Коши. Исследуйте ряд из модулей
|Bn|=|x-4|^(n^2)/n^(n+1)

корень n-ой степени[|Bn|]=|x-4|^n/[n*корень n-ой степени(n)]
Теперь считайте предел в зависимомти от х и смотрите, когда он < 1 (там ряд сходится)

Автор: Mercury 26.3.2008, 18:33

Большое Вам спасибо venja за помощь.