В сообщении прикрепил фото с доказательством, которое у меня получилось

не смог прикрепить к первом сообщению

Либо я неправильно понимаю условие, либо..
Пусть например, z1=2-i, z2=1-i =>

z1+z2=3-2i
z1*z2=(2-i)*(1-i)=1-3i

мнимые одновременно

А может быть имелось в виду, что число мнимое, когда его действительная часть равна нулю, а действительное - когда мнимая равна нулю. И тогда нужно доказать, действительные часть произведения и суммы одновременно не будут равны 0 => произвыедение и сумма не будут одновременно мнимыми?

т.е. речь про чисто мнимые числа? Хм... возможно и так.

Да, я так думаю.
И как в таком случае доказывать? Будет ли правильным мое доказательство?

а почему z1+z2 получилось, что мнимое число?

Если предположить а и с = 0 (забыл написать)

а если эти параметры не нулевые? Действительная часть еще будет равна нулю, если а=-с

А если параметры не нулевые, или а<>-с, тогда я не знаю, как доказывать, но все равно спасибо за помощь.

И есть у меня еще вопрос. есть выражение(фото№1), я знаю, что его нужно решать по формуле муавра, но при нахождении аргумента у числителя получается весьма не понятное выражение, а по идее должно получаться выражение из таблицы(фото №2). Что я делаю не так? есть подозрения, что степень числителя не случайно больше степени знаменателя на 1, и это нужно как-то использовать, но как?

надо думать, пока не приходит ничего в голову

Старайтесь разные задачи в разных темах
ну а так, вначале надо упростить, показывайте, что делали. Пока интересует числитель

Понял, в следующий раз так и сделаю

Прикрепил фото с действиями над числителем

а чего аргумент - это арккосинус? Вроде арктангенс должен быть?! Или по какой формуле находили?

да, но т.к. дана таблица только с синусами и косинусами, я решил, что нужно через арккосинус найти. Вроде есть формула arg = a/mod.

Хм... пользуюсь такой

arg z=arctg (b/a) + 0, a>=0
+ п, a<0

я в своей формуле еще арккосинус забыл написать. arg = arccos(a/mod).
если делать через арктангенс, то получится arg = -arctg((2-sqrt(3)/2*sqrt(3)+1), но тогда нельзя будет воспользоваться таблицей, данной в условии

а если избавится от иррациональности в знаменателе?

все равно, получается абсолютно не табличное выражение

Пусть числа: a+bi и c+di, причем b и d одного знака.
Тогда действительные части суммы и произведения есть a+с и ac-bd.
Предположим, что сумма и произведение - чисто мнимые, тогда выполнено:
a+с=0 и
ac-bd=0

Выражая из первого c=-a и подставляя во второе, получим:

-a^2-bd=0.
Противоречие, так как левая часть всегда отрицательна, если b и d одного знака.

Большое спасибо!