Решаю очередную контрольную работу, пользуюсь учебником Данко, Попов, Кожевникова: "Высшая математика в примерах и задачах"
Номер примера в данном учебнике 1255, не могу понять откуда взялся (-a sin t)

и согласно формуле dz/dx*dx/dt это частная производная по постоянной у?

а dz/dy*dy/dt это по постоянной х?

разобрался.
dz/dx это производная функции по постоянной х, dx/dt и соответсвенно dy/dt это производные самих коэфициентов у и х.

Проверьте пожалуйста только одну производную, я в них не особо.
z=xy/x-y это dz/dx= y/1-y . Правильно?

Скобки расставьте, пожалуйста. Если имелось ввиду z=xy/(x-y), то решение неверное. Но сам подход правильный. Вспомните правило дифференцирования отношения двух функций.