(IMG:style_emoticons/default/newconfus.gif)

1. Подскажите вот здесь.

(IMG:http://s017.radikal.ru/i439/1110/2e/d97b9552843d.jpg)
(IMG:http://s017.radikal.ru/i419/1110/7c/f64fee0ebb67.jpg)
(IMG:http://s008.radikal.ru/i306/1110/29/e33ff781e74a.jpg)
(IMG:http://s002.radikal.ru/i197/1110/e9/bac5d1f83c7f.jpg)

Если ряд из модулей |an| сходится, то ряд из an сходится.
Ряд 1/(n*n+n) сравнивайте с рядом 1/(n^2). Они эквиваленты. Притом 2-ой сходится.
Поэтому исследовать с помощью признака Лейбница не надо. А само убывание доказывается непосредственной проверкой условия признака Лейбница.

(IMG:http://s017.radikal.ru/i444/1110/81/756ee06901fd.jpg)
(IMG:http://s017.radikal.ru/i438/1110/13/a293e1489d28.jpg)
(IMG:http://s53.radikal.ru/i141/1110/1f/bdb6a3578099.jpg)
(IMG:http://s43.radikal.ru/i102/1110/53/8b1743eb4446.jpg)

Нужно ли исследовать на сходимость последний ряд или он рассмотрен выше?

Мда. Сначала поучите теорию про признак Даламбера, абсолютную сходимость, обобщенный гармонический ряд.

Ответьте ктонибудь из преподавателей. А то студенту верить боюсь вдруг врет.
Может быть он не уверен, да еще такие советы дает поучите, да поучите.
Если нам разрешают теоретическим материалом пользоваться то учить ничего и не надо,
главное понимать, а у меня вот как раз вопрос возник(немного не поняла), толку нет заучивать.

Преподаватели на вас надежда, у вас хоть опыта побольше.

Из предыдущей проверки ведь понятно, что последний ряд сходится.

Необязательно ведь проверять на сходимость?

Да всё у Вас правильно. Только Вы вот про признак Лейбница, а до конца его не использовали, стали зачем-то доказывать абсолютную сходимость ряда из модулей. Достаточно показать, что значения элементов ряда по модулю монотонно убывают.
Ну сходимость 1/(n*n+n) можно доказать просто, сказав, что каждый элемент этого ряда меньше соответствующего элемента ряда 1/n^2, который сходится, из-за чего сходится исходный ряд.

P.S.: Зачем обижаете студентов? Очень вот им надо специально сидеть здесь и ждать, кому бы наврать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Как будто у нас других дел нет.

Я тоже могу казаться умной и говорить, поучите, поучите. Нужно давать советы, чтобы они реально помогали. Никогда ничего не учила, главное понять.

У вас кстати очень хорошие советы. (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif) Спасибо вам. (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

Для доказательства, что значения элементов ряда по модулю монотонно убывают. Все равно ведь нужно доказать, что ряд по модулю сходится?[color=#993399]

Подозреваю, что упор в сообщении был не на слове "поучите", а на словах "признак Даламбера, абсолютная сходимость" и т.д. Очень дельный совет, между прочим.
Решая только одни задачи и не углубляясь в теорию, Вы никогда не будете до конца знать, что и почему получается => всегда нужно будет либо у кого-то спрашивать, либо лезьть в книжку и искать похожие примеры.
Насчёт "главное понять" - в конце концов, это одно и то же. Только под учёбой понимается не зубрёжка (как, я подозреваю, Вы считаете), а планомерное изучение и осознание предмета.
Посмотрите внимательно на правило Лейбница для знакопеременных рядом и укажите, где в нём нужно доказывать абсолютную сходимость.

Хорошо. Я поняла.

Вот вы всегда все правильно говорите.

(IMG:http://s49.radikal.ru/i124/1110/07/c5bc5ff7b2bb.jpg)

Спасибо вам большое. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Это вы только полпризнака проверили+2. a_n>a_(n+1) начиная с некоторого номера n.

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Спасибо вам.

(IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif) (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif) (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif)

(IMG:style_emoticons/default/bye.gif) (IMG:style_emoticons/default/bye.gif) (IMG:style_emoticons/default/bye.gif)

Те. получилось?