1. Подскажите вот здесь.

Если ряд из модулей |an| сходится, то ряд из an сходится.
Ряд 1/(n*n+n) сравнивайте с рядом 1/(n^2). Они эквиваленты. Притом 2-ой сходится.
Поэтому исследовать с помощью признака Лейбница не надо. А само убывание доказывается непосредственной проверкой условия признака Лейбница.

Нужно ли исследовать на сходимость последний ряд или он рассмотрен выше?

Мда. Сначала поучите теорию про признак Даламбера, абсолютную сходимость, обобщенный гармонический ряд.

Ответьте ктонибудь из преподавателей. А то студенту верить боюсь вдруг врет.
Может быть он не уверен, да еще такие советы дает поучите, да поучите.
Если нам разрешают теоретическим материалом пользоваться то учить ничего и не надо,
главное понимать, а у меня вот как раз вопрос возник(немного не поняла), толку нет заучивать.

Преподаватели на вас надежда, у вас хоть опыта побольше.

Из предыдущей проверки ведь понятно, что последний ряд сходится.

Необязательно ведь проверять на сходимость?

Да всё у Вас правильно. Только Вы вот про признак Лейбница, а до конца его не использовали, стали зачем-то доказывать абсолютную сходимость ряда из модулей. Достаточно показать, что значения элементов ряда по модулю монотонно убывают.
Ну сходимость 1/(n*n+n) можно доказать просто, сказав, что каждый элемент этого ряда меньше соответствующего элемента ряда 1/n^2, который сходится, из-за чего сходится исходный ряд.

P.S.: Зачем обижаете студентов? Очень вот им надо специально сидеть здесь и ждать, кому бы наврать Как будто у нас других дел нет.

Я тоже могу казаться умной и говорить, поучите, поучите. Нужно давать советы, чтобы они реально помогали. Никогда ничего не учила, главное понять.

У вас кстати очень хорошие советы. Спасибо вам.

Для доказательства, что значения элементов ряда по модулю монотонно убывают. Все равно ведь нужно доказать, что ряд по модулю сходится?[color=#993399]

Подозреваю, что упор в сообщении был не на слове "поучите", а на словах "признак Даламбера, абсолютная сходимость" и т.д. Очень дельный совет, между прочим.
Решая только одни задачи и не углубляясь в теорию, Вы никогда не будете до конца знать, что и почему получается => всегда нужно будет либо у кого-то спрашивать, либо лезьть в книжку и искать похожие примеры.
Насчёт "главное понять" - в конце концов, это одно и то же. Только под учёбой понимается не зубрёжка (как, я подозреваю, Вы считаете), а планомерное изучение и осознание предмета.
Посмотрите внимательно на правило Лейбница для знакопеременных рядом и укажите, где в нём нужно доказывать абсолютную сходимость.

Хорошо. Я поняла.

Вот вы всегда все правильно говорите.



Спасибо вам большое.

Это вы только полпризнака проверили+2. a_n>a_(n+1) начиная с некоторого номера n.

Спасибо вам.

Те. получилось?