Существует ли доказательство формулы радиуса вписанной окружности (a + b - c) / 2, где a, b - катеты, с - гипотенуза прямоугольного треугольника? Какое доказательство?

Существует. Основано на равенстве отрезков касательных, проведённых из одной точке к окружности.

И это всё доказательство?

И ещё: почему проведённых из одной точки?

Нет, это только идея доказательства.
Нарисуйте прямоугольный треугольник, вписанную в него окружность, и всё станет понятно.