IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Интересная задача с окружностями, Для студентов и школьников старших классов
vadim1
сообщение 4.9.2010, 14:06
Сообщение #1


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Учусь уже на последнем курсе технического университета (но не математический уклон, скорее физический), эту задачу пытаемся и не можем решить уже несколько месяцев (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Преподаватели могут предложить задачу студентам, она довольно интересна и имеет практическое значение.

Условие:
Есть две одинаковых окружности радиусом R;
эти окружности накладывают друг на друга (см. вложение-картинку).

Задача:
Найти такое расстояние между центрами окружностей X,
при котором площади S будут равны (S1=S2=S3).

Примечания:
Так как окружности одинаковые, то требуется буквенное решение задачи,
т.е. ответом будет уравнение вида X=f( R ).

Желательно привести полное решение, очень интересно каков все-таки результат (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)


Эскизы прикрепленных изображений
Прикрепленное изображение
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.9.2010, 14:09
Сообщение #2


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Правила форума
А самостоятельно, что пытались сделать?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 4.9.2010, 14:18
Сообщение #3


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Пытались решить исходя из школьных формул (площадь сектора, ромба и т.д.), через интегралы (но было неясно какие пределы интегрирования), с помощью построений. Пока решение не найдено, но известно что искомое X лежит в пределах от 80/100 до 81/100 от радиуса.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 4.9.2010, 14:31
Сообщение #4


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(vadim1 @ 4.9.2010, 17:18) *

Пытались решить исходя из школьных формул (площадь сектора, ромба и т.д.), через интегралы (но было неясно какие пределы интегрирования), с помощью построений.

Показывайте.
Цитата
Пока решение не найдено, но известно что искомое X лежит в пределах от 80/100 до 81/100 от радиуса.

Выше сказано, что Х - это расстояние, не поняла, откуда градусы?!
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 4.9.2010, 14:39
Сообщение #5


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Цитата
Показывайте.

Показывать пока еще нечего, выводы я выбросил так как ответа не нашел. Но обязательно выложу намётки.

Цитата
не поняла, откуда градусы?!

Х - это на самом деле расстояние, ни о каких градусах речи нет. Просто если взять радиус окружности 100мм, то искомое Х будет от 80 до 81мм (ближе к 81, но это банальный подгон на чертеже).
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 4.9.2010, 18:11
Сообщение #6


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Первый очевидный вариант

См. Прикрепленное изображение

Допустим, что условие равенства площадей выполнено. Тогда очевидно, что площадь выдленного сегмента равна четверти площади круга. Используя формулы площади круга и сегмента (площадь сектора минус площадь треугольника) получаем:
Прикрепленное изображение
после сокращения получаем:
Прикрепленное изображение

Учитывая полузабытые правила математики, я не могу выразить отсюда угол "а" в градусной мере (может быть это невозможно, не могу сказать). К тому же величина этого угла позволит лишь подогнать окружности на чертеже к нужному расстоянию, что невозможно на практике.

Что интересно, отсутствие в итоговом уравнении величины радиуса окружности показывает, что выполнение заданного условия возможно при любом размере окружностей и угол "а" при любом радиусе будет постоянным.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 4.9.2010, 18:47
Сообщение #7


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Выразить угол Вы оттуда не сможете, это уравнение можно решить только численными методами. С достаточно хорошей точностью можно считать,что угол составляет примерно 2,3099 радиан, при этом расстояние получается равным примерно 0.8079*R.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 5.9.2010, 7:43
Сообщение #8


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Цитата
можно считать,что угол составляет примерно 2,3099 радиан, при этом расстояние получается равным примерно 0.8079*R.

Собственно так и получается при подгонке на чертеже (0,8-0,9R; искомый угол примерно 132 градуса), но к сожалению это не тот ответ, который хочется увидеть. При таком значении разница в площадах начинается в первых знаках после запятой (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Вариант с интегралом
См. Прикрепленное изображение
Допустим, что условие выполнено. Тогда площадь выделенного элемента будет равна четверти заданной площади или восьмой части площади круга:
Прикрепленное изображение
Здесь я обозначил искомое Х как Х1.
Приводим уравнение окружности на плоскости к нашему случаю (ее центр лежит на оси "х", на расстоянии R от начала координат):
Прикрепленное изображение
Определяем верхний предел интегрирования (нижний предел - ноль):
Прикрепленное изображение
Тогда площадь выделенного участка будет равна восьмой части площади круга:
Прикрепленное изображение

Здесь опять тупик, потому что выразить из уравнения предел интегрирования не получается (во всяком случае Mathcad этого сделать не может, а мне кажется это в принципе невозможно).

Пока что на этом мои идеи заканчиваются (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 5.9.2010, 19:58
Сообщение #9


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Я же говорю,что не получится в явном виде найти корень уравнения! Хоть какими способами Вы будете его решать - это абсолютно не важно. Если Вам нужна высокая точность - существуют численные методы,с помощью которых можно вычислить почти любое наперёд заданное количество цифр после запятой в этом числе(а если делать это руками - то вообще любое).
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 6.9.2010, 13:44
Сообщение #10


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Цитата(граф Монте-Кристо @ 5.9.2010, 19:58) *

существуют численные методы,с помощью которых можно вычислить почти любое наперёд заданное количество цифр после запятой в этом числе(а если делать это руками - то вообще любое).


Не могли бы подсказать, каким образом это сделать? Просто мои знания о численных методах ограничиваются статьями из википедии (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)
На примере первого уравнения с синусом, через Mathcad или вручную (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 6.9.2010, 16:21
Сообщение #11


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Всё, я разобрался (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Итак, численное решение задачи:

Решение в Mathcad Прикрепленное изображение

1). Представляем полученное уравнение в качестве функции от угла "альфа" (переносим левую часть вправо);
2). Строим график полученной функции. Нулём функции как раз будет являться искомый угол. На рисунке показано окно трассировки, из которого видно, что значение угла примерно равно 2,3-2,32 радиан (в принципе, строить график было не обязательно, т.к. значение 2,3099 примерно подходило под решение. Но для неизвестных значений лучше его построить, чтобы визуально оценить решение);
3). Задаем начальное приближение угла 2,3 радиан для поиска корней.
4). Устанавливаем точность вычислений (для Mathcad минимальное значение 10^(-9));
5). Ищем корень с нужным количеством знаков после запятой (на рисунке их 17, это максимальное значение для Mathcad).

Дальше найти зависимость Х от R можно через это значение угла, дело техники (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Вобщем всем спасибо, более-менее я разобрался (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
vadim1
сообщение 6.9.2010, 16:33
Сообщение #12


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 8
Регистрация: 4.9.2010
Город: Сыктывкар



Ну совсем напоследок:
с максимальной точностью маскада
X=0,8079455065990346*R
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 8:35

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru