Интересная задача с окружностями, Для студентов и школьников старших классов |
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
Интересная задача с окружностями, Для студентов и школьников старших классов |
vadim1 |
4.9.2010, 14:06
Сообщение
#1
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Учусь уже на последнем курсе технического университета (но не математический уклон, скорее физический), эту задачу пытаемся и не можем решить уже несколько месяцев (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Преподаватели могут предложить задачу студентам, она довольно интересна и имеет практическое значение. Условие: Есть две одинаковых окружности радиусом R; эти окружности накладывают друг на друга (см. вложение-картинку). Задача: Найти такое расстояние между центрами окружностей X, при котором площади S будут равны (S1=S2=S3). Примечания: Так как окружности одинаковые, то требуется буквенное решение задачи, т.е. ответом будет уравнение вида X=f( R ). Желательно привести полное решение, очень интересно каков все-таки результат (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Эскизы прикрепленных изображений |
tig81 |
4.9.2010, 14:09
Сообщение
#2
|
Академик Группа: Преподаватели Сообщений: 15 617 Регистрация: 15.12.2007 Город: Украина, Запорожье Учебное заведение: ЗНУ Вы: преподаватель |
Правила форума
А самостоятельно, что пытались сделать? |
vadim1 |
4.9.2010, 14:18
Сообщение
#3
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Пытались решить исходя из школьных формул (площадь сектора, ромба и т.д.), через интегралы (но было неясно какие пределы интегрирования), с помощью построений. Пока решение не найдено, но известно что искомое X лежит в пределах от 80/100 до 81/100 от радиуса.
|
tig81 |
4.9.2010, 14:31
Сообщение
#4
|
Академик Группа: Преподаватели Сообщений: 15 617 Регистрация: 15.12.2007 Город: Украина, Запорожье Учебное заведение: ЗНУ Вы: преподаватель |
Пытались решить исходя из школьных формул (площадь сектора, ромба и т.д.), через интегралы (но было неясно какие пределы интегрирования), с помощью построений. Показывайте. Цитата Пока решение не найдено, но известно что искомое X лежит в пределах от 80/100 до 81/100 от радиуса. Выше сказано, что Х - это расстояние, не поняла, откуда градусы?! |
vadim1 |
4.9.2010, 14:39
Сообщение
#5
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Цитата Показывайте. Показывать пока еще нечего, выводы я выбросил так как ответа не нашел. Но обязательно выложу намётки. Цитата не поняла, откуда градусы?! Х - это на самом деле расстояние, ни о каких градусах речи нет. Просто если взять радиус окружности 100мм, то искомое Х будет от 80 до 81мм (ближе к 81, но это банальный подгон на чертеже). |
vadim1 |
4.9.2010, 18:11
Сообщение
#6
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Первый очевидный вариант
См. Допустим, что условие равенства площадей выполнено. Тогда очевидно, что площадь выдленного сегмента равна четверти площади круга. Используя формулы площади круга и сегмента (площадь сектора минус площадь треугольника) получаем: после сокращения получаем: Учитывая полузабытые правила математики, я не могу выразить отсюда угол "а" в градусной мере (может быть это невозможно, не могу сказать). К тому же величина этого угла позволит лишь подогнать окружности на чертеже к нужному расстоянию, что невозможно на практике. Что интересно, отсутствие в итоговом уравнении величины радиуса окружности показывает, что выполнение заданного условия возможно при любом размере окружностей и угол "а" при любом радиусе будет постоянным. |
граф Монте-Кристо |
4.9.2010, 18:47
Сообщение
#7
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 840 Регистрация: 27.9.2007 Из: Старый Оскол Город: Москва Учебное заведение: МФТИ/МАИ Вы: другое |
Выразить угол Вы оттуда не сможете, это уравнение можно решить только численными методами. С достаточно хорошей точностью можно считать,что угол составляет примерно 2,3099 радиан, при этом расстояние получается равным примерно 0.8079*R.
|
vadim1 |
5.9.2010, 7:43
Сообщение
#8
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Цитата можно считать,что угол составляет примерно 2,3099 радиан, при этом расстояние получается равным примерно 0.8079*R. Собственно так и получается при подгонке на чертеже (0,8-0,9R; искомый угол примерно 132 градуса), но к сожалению это не тот ответ, который хочется увидеть. При таком значении разница в площадах начинается в первых знаках после запятой (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) Вариант с интегралом См. Допустим, что условие выполнено. Тогда площадь выделенного элемента будет равна четверти заданной площади или восьмой части площади круга: Здесь я обозначил искомое Х как Х1. Приводим уравнение окружности на плоскости к нашему случаю (ее центр лежит на оси "х", на расстоянии R от начала координат): Определяем верхний предел интегрирования (нижний предел - ноль): Тогда площадь выделенного участка будет равна восьмой части площади круга: Здесь опять тупик, потому что выразить из уравнения предел интегрирования не получается (во всяком случае Mathcad этого сделать не может, а мне кажется это в принципе невозможно). Пока что на этом мои идеи заканчиваются (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) |
граф Монте-Кристо |
5.9.2010, 19:58
Сообщение
#9
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 3 840 Регистрация: 27.9.2007 Из: Старый Оскол Город: Москва Учебное заведение: МФТИ/МАИ Вы: другое |
Я же говорю,что не получится в явном виде найти корень уравнения! Хоть какими способами Вы будете его решать - это абсолютно не важно. Если Вам нужна высокая точность - существуют численные методы,с помощью которых можно вычислить почти любое наперёд заданное количество цифр после запятой в этом числе(а если делать это руками - то вообще любое).
|
vadim1 |
6.9.2010, 13:44
Сообщение
#10
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
существуют численные методы,с помощью которых можно вычислить почти любое наперёд заданное количество цифр после запятой в этом числе(а если делать это руками - то вообще любое). Не могли бы подсказать, каким образом это сделать? Просто мои знания о численных методах ограничиваются статьями из википедии (IMG:style_emoticons/default/blush.gif) На примере первого уравнения с синусом, через Mathcad или вручную (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) |
vadim1 |
6.9.2010, 16:21
Сообщение
#11
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Всё, я разобрался (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Итак, численное решение задачи: Решение в Mathcad 1). Представляем полученное уравнение в качестве функции от угла "альфа" (переносим левую часть вправо); 2). Строим график полученной функции. Нулём функции как раз будет являться искомый угол. На рисунке показано окно трассировки, из которого видно, что значение угла примерно равно 2,3-2,32 радиан (в принципе, строить график было не обязательно, т.к. значение 2,3099 примерно подходило под решение. Но для неизвестных значений лучше его построить, чтобы визуально оценить решение); 3). Задаем начальное приближение угла 2,3 радиан для поиска корней. 4). Устанавливаем точность вычислений (для Mathcad минимальное значение 10^(-9)); 5). Ищем корень с нужным количеством знаков после запятой (на рисунке их 17, это максимальное значение для Mathcad). Дальше найти зависимость Х от R можно через это значение угла, дело техники (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Вобщем всем спасибо, более-менее я разобрался (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) |
vadim1 |
6.9.2010, 16:33
Сообщение
#12
|
Новичок Группа: Продвинутые Сообщений: 8 Регистрация: 4.9.2010 Город: Сыктывкар |
Ну совсем напоследок:
с максимальной точностью маскада X=0,8079455065990346*R |
Текстовая версия | Сейчас: 28.3.2024, 8:35 |
Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru