Версия для печати темы

Автор: vadim1 4.9.2010, 14:06

Учусь уже на последнем курсе технического университета (но не математический уклон, скорее физический), эту задачу пытаемся и не можем решить уже несколько месяцев
Преподаватели могут предложить задачу студентам, она довольно интересна и имеет практическое значение.

Условие:
Есть две одинаковых окружности радиусом R;
эти окружности накладывают друг на друга (см. вложение-картинку).

Задача:
Найти такое расстояние между центрами окружностей X,
при котором площади S будут равны (S1=S2=S3).

Примечания:
Так как окружности одинаковые, то требуется буквенное решение задачи,
т.е. ответом будет уравнение вида X=f( R ).

Желательно привести полное решение, очень интересно каков все-таки результат


Эскизы прикрепленных изображений

Автор: tig81 4.9.2010, 14:09

http://www.prepody.ru/ipb.html?act=boardrules#
А самостоятельно, что пытались сделать?

Автор: vadim1 4.9.2010, 14:18

Пытались решить исходя из школьных формул (площадь сектора, ромба и т.д.), через интегралы (но было неясно какие пределы интегрирования), с помощью построений. Пока решение не найдено, но известно что искомое X лежит в пределах от 80/100 до 81/100 от радиуса.

Автор: tig81 4.9.2010, 14:31

Показывайте.

Выше сказано, что Х - это расстояние, не поняла, откуда градусы?!

Автор: vadim1 4.9.2010, 14:39

Показывать пока еще нечего, выводы я выбросил так как ответа не нашел. Но обязательно выложу намётки.


Х - это на самом деле расстояние, ни о каких градусах речи нет. Просто если взять радиус окружности 100мм, то искомое Х будет от 80 до 81мм (ближе к 81, но это банальный подгон на чертеже).

Автор: vadim1 4.9.2010, 18:11

Первый очевидный вариант

См.

Допустим, что условие равенства площадей выполнено. Тогда очевидно, что площадь выдленного сегмента равна четверти площади круга. Используя формулы площади круга и сегмента (площадь сектора минус площадь треугольника) получаем:

после сокращения получаем:


Учитывая полузабытые правила математики, я не могу выразить отсюда угол "а" в градусной мере (может быть это невозможно, не могу сказать). К тому же величина этого угла позволит лишь подогнать окружности на чертеже к нужному расстоянию, что невозможно на практике.

Что интересно, отсутствие в итоговом уравнении величины радиуса окружности показывает, что выполнение заданного условия возможно при любом размере окружностей и угол "а" при любом радиусе будет постоянным.

Автор: граф Монте-Кристо 4.9.2010, 18:47

Выразить угол Вы оттуда не сможете, это уравнение можно решить только численными методами. С достаточно хорошей точностью можно считать,что угол составляет примерно 2,3099 радиан, при этом расстояние получается равным примерно 0.8079*R.

Автор: vadim1 5.9.2010, 7:43

Собственно так и получается при подгонке на чертеже (0,8-0,9R; искомый угол примерно 132 градуса), но к сожалению это не тот ответ, который хочется увидеть. При таком значении разница в площадах начинается в первых знаках после запятой

Вариант с интегралом
См.
Допустим, что условие выполнено. Тогда площадь выделенного элемента будет равна четверти заданной площади или восьмой части площади круга:

Здесь я обозначил искомое Х как Х1.
Приводим уравнение окружности на плоскости к нашему случаю (ее центр лежит на оси "х", на расстоянии R от начала координат):

Определяем верхний предел интегрирования (нижний предел - ноль):

Тогда площадь выделенного участка будет равна восьмой части площади круга:


Здесь опять тупик, потому что выразить из уравнения предел интегрирования не получается (во всяком случае Mathcad этого сделать не может, а мне кажется это в принципе невозможно).

Пока что на этом мои идеи заканчиваются

Автор: граф Монте-Кристо 5.9.2010, 19:58

Я же говорю,что не получится в явном виде найти корень уравнения! Хоть какими способами Вы будете его решать - это абсолютно не важно. Если Вам нужна высокая точность - существуют численные методы,с помощью которых можно вычислить почти любое наперёд заданное количество цифр после запятой в этом числе(а если делать это руками - то вообще любое).

Автор: vadim1 6.9.2010, 13:44

Не могли бы подсказать, каким образом это сделать? Просто мои знания о численных методах ограничиваются статьями из википедии
На примере первого уравнения с синусом, через Mathcad или вручную

Автор: vadim1 6.9.2010, 16:21

Всё, я разобрался
Итак, численное решение задачи:

Решение в Mathcad

1). Представляем полученное уравнение в качестве функции от угла "альфа" (переносим левую часть вправо);
2). Строим график полученной функции. Нулём функции как раз будет являться искомый угол. На рисунке показано окно трассировки, из которого видно, что значение угла примерно равно 2,3-2,32 радиан (в принципе, строить график было не обязательно, т.к. значение 2,3099 примерно подходило под решение. Но для неизвестных значений лучше его построить, чтобы визуально оценить решение);
3). Задаем начальное приближение угла 2,3 радиан для поиска корней.
4). Устанавливаем точность вычислений (для Mathcad минимальное значение 10^(-9));
5). Ищем корень с нужным количеством знаков после запятой (на рисунке их 17, это максимальное значение для Mathcad).

Дальше найти зависимость Х от R можно через это значение угла, дело техники

Вобщем всем спасибо, более-менее я разобрался

Автор: vadim1 6.9.2010, 16:33

Ну совсем напоследок:
с максимальной точностью маскада
X=0,8079455065990346*R