Учусь уже на последнем курсе технического университета (но не математический уклон, скорее физический), эту задачу пытаемся и не можем решить уже несколько месяцев (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Преподаватели могут предложить задачу студентам, она довольно интересна и имеет практическое значение.

Условие:
Есть две одинаковых окружности радиусом R;
эти окружности накладывают друг на друга (см. вложение-картинку).

Задача:
Найти такое расстояние между центрами окружностей X,
при котором площади S будут равны (S1=S2=S3).

Примечания:
Так как окружности одинаковые, то требуется буквенное решение задачи,
т.е. ответом будет уравнение вида X=f( R ).

Желательно привести полное решение, очень интересно каков все-таки результат (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Собственно так и получается при подгонке на чертеже (0,8-0,9R; искомый угол примерно 132 градуса), но к сожалению это не тот ответ, который хочется увидеть. При таком значении разница в площадах начинается в первых знаках после запятой (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Вариант с интегралом
См.
Допустим, что условие выполнено. Тогда площадь выделенного элемента будет равна четверти заданной площади или восьмой части площади круга:

Здесь я обозначил искомое Х как Х1.
Приводим уравнение окружности на плоскости к нашему случаю (ее центр лежит на оси "х", на расстоянии R от начала координат):

Определяем верхний предел интегрирования (нижний предел - ноль):

Тогда площадь выделенного участка будет равна восьмой части площади круга:


Здесь опять тупик, потому что выразить из уравнения предел интегрирования не получается (во всяком случае Mathcad этого сделать не может, а мне кажется это в принципе невозможно).

Пока что на этом мои идеи заканчиваются (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)