дана плотность распределения случайной величины ξ

f(x)= Cx ; x принадлежит [0;3]
0 ;x не принадлежит [0;3]

Найти функцию распределения η, если η=(ξ - 1)².


Нашла функцию распределения F(x) = С на интервале x [0;3]
const ; x не принадл. [0;3]
Дальше как - не знаю!!

даже это уже все неверно.

сначала найдите константу из свойства плотности f(x). Потом найдите плотность для величины ξ - 1. Потом уже переходите к величине η

и почитайте про функцию распределения. она является не производной, а ИНТЕГРАЛОМ от функции плотности вероятностей (как получилось F(x) = С ???). Её основных свойств и что это вообще такое Вы тоже не знаете. В общем, начните с главного.

Можно учитывать из равномерного закона распределения, что Сх = 1 / b - a ? чтобы найти константу. И как найти плотность для заданной величины? Прошу, помогите,пожалуйста. Нужно разобраться на одном примере, чтобы научиться решать типовые задачи. Основные свойства и определение плотности знаю, не могу применить.

а с чего Вы взяли, что это равномерный закон? равномерный - это у которого плотность f(x)=C, постоянна на некотором интервале. а у Вас плотность задана в виде линейной функции Сх! Значит, функция распределения,, которая находится как интеграл от плотности и имеющая в случае степенных функций степень всегда на 1 большего порядка, должна быть квадратичной функцией на этом участке! А она у Вас в константу превратилась! А если константа равна 5, например, может быть такое значение функции распределения??

вот самое главное - какие значения может принимать функция распределения?? Что это по определению?


как же Вы их знаете? Чему равен интеграл в бесконечных пределах от функции плотности вероятности? Почему Вы не можете его найти для заданной плотности и отсюда найти С?

В задачнике В.Е.Гмурмана или учебнике Н.Ш.Кремера (вверху есть тема со ссылками) примеров разобрано много. Читайте.

Почему-то все хотят разобраться именно на том примере, который им дан (для контроля того, как они уже разобрались!) преподавателем.

Функция принимает значения 0<=F(x)<=1
Вероятность того, что случайная величина меньше х.

интеграл в бесконечных пределах от функции плотности вероятности равен единице.

Значит интеграл в бесконечных пределах от Сх dx = 1 =>
C интеграл( - оо; оо) {x dx} = 1

C = 1/ интегр.( - оо; +оо) {x dx}

найдем сначала неопределенный интеграл: инт. {x dx} = x^2 / 2

так как рассматриваем интервал [0;3], то интеграл(0;3){x dx} = 9/2.
=> C = 2/9
так?



это не пример, данный преподавателем. Просто вчера не сдала экзамен, попалась такая задача. Хочу ее разобрать, чтобы по этой теме не было вопросов)

Так. Теперь подставьте найденное С в плотность и ищите функцию распределения.

Получается F(x) = 1

А как теперь найти функцию распределения η, если η=(ξ - 1)² ?

Здесь вообще имеется ввиду найти функцию распределения случайной величины η , которая находится в такой зависимости от ξ ? Может быть я неправильно понимаю условие? Но в любом случае, как это связать дальше?

что везде? На всех трех участках?

ну, несмотря на верный итог, все-таки рассматривать интеграл надо не как "интеграл в бесконечных пределах от Сх dx = 1 ",а вот так:
интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятностей, т.е. инт от -оо до +оо {f(x)dx} = 1
и представить его как сумму интегралов для трех участков, где плотность имеет разные значения, т.е.:
инт от -оо до +оо {f(x)dx}=инт от -оо до 0 {0 dx} + инт от 0 до 3 {Cx dx} +инт от 3 до +oo {0 dx}= инт от 0 до 3 {Cx dx}=Cx^2/2 |_0^3=C*9/2

на участке от - оо до 0 F(x) = const
[0;3] - F(x) = 1
(3;+oo) - F(x)= const

вот...а теперь что?

грустно.. вроде теорию знаете, но НЕ ПОНИМАЕТЕ.

ВО-первых, что такое F(x)= const? Я уже спрашивала, что и 5 может быть равна?
т.е. функция плотности вероятности изменяется, а функция распределения - нет? Вы вроде теорию исправно знаете:

А что получаете?
т.е. вероятность попасть левее 0 равна 1, т.е. достоверное событие? и левее 1 тоже? и 2? и 3?

РАЗБЕРИТЕСЬ С ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ! Простой, обычной для начала.
ну посмотрите, вот на несколько тем ниже Вашей хотя бы:
http://www.prepody.ru/topic9144.html

то есть если плотность задана
f(x)=
0 if -oo <x<0
Cx (или как уже нашли 2x/9) if 0<=x<=3
0 if 0<x<+oo

то, если по определению F(x) = int(-oo; x) {f(x) dx}:
F(x) =
int(-oo;0) {0 dx} = 0
int(0;x) {2x dx/9} = x^2/9
int(x;+oo) {0 dx) = 0


ну как на этот раз?? ближе к истине? (очень неловко, что так туго доходит...)

конечно, уже теплее... но до полного понимания далеко..

Итак, мы находимся на последнем третьем участке. x>3. все возможные значения случайной величины у нас лежат слева. (она сосредоточена у нас на интервале от 0 до 3). А у Вас функция распределения равна 0! Т.е. попасть левее 4,например, по-вашему невозможно! Вероятность такого события равна 0!

Ещё раз посмотрите те темки, там были те же грабли на последнем участке... И ещё раз посмотрите-почитайте свойства функции распределения... Чему она всегда равна на +оо?


аналогично как сумма трех интегралов

F(x) =
int(-oo;x) {0 dx} = 0
int(-oo;x)=int(-oo;0){0 dx} + int (0;x) ) {2x dx/9} = x^2/9
int(-oo;0){0 dx} + int (0;3) ) {2x dx/9} +int(0;+оо){0 dx} = 1

кажется довели до ума эту часть=)

только на последнем участке, как и на всех, верхний предел интегрирования все равно должен быть х:

да. Ура

Спасибо большое Вам! Просто открываете мне глаза на науку!
от чего далее исходить, чтобы найти функцию распределения η, если η=(ξ - 1)² ?

Исключительно из определения функции распределения. Запишите, что такое - по определению - функция распределения случайной величины η.

F(x) = P (η<x)
значит следует найти вероятность того, что η<x или (ξ - 1)² <x.

Верно. При каких х эта вероятность нулевая? При остальных надо решать неравенство (ξ - 1)² <x относительно ξ и тем самым выражать P(η<x) через функцию распределения ξ.

И что там? Почти сутки прошли, неравенство не решается?