Опять Коши
4y^3*y''=y''-1, y(0)=y'(0)=sqrt[2]
делаю замену y'=p и получается pdp=dy/(1-4y^3), интеграл не берется

Почему? Знаменатель на разность кубов, затем метод неопределенных коэффициентов

Разложил, получилось вот так:

с первым все понятно, а во стором слагаемом пытался домножить на корень кубический из 4 и внести знаменатель под знак дифференциала, но 2 в числителе все портит

Ну можно разбить на 2 интеграла. Первый, как вы предложили - внести под дифференциал, во втором, попробовать выделить полный квадрат, либо изначально метод неопределенных коэффициентов.

это получилось

не получается разложить, так как корни комплексные

Ага,поняла. Теперь выделяйте полный квадрат в знаменателе.

так даже с выделением полного квадрата корни все равно комплексные
замена t=3sqrt[4]x+1
и знаменатель получается t^2-t+1

Я вам не говорю находить корни, я пишу, чтобы вы выделили полный квадрат и свли к интегралу вида int(dt/[t^2+(или -)a^2])

сделал, конструкция получилась умопомрачительная, к тому же содержащая arctg. Теперь это все надо загнать под корень и проинтегрировать. Это просто нереально. Скорее всего ошибка была где то на самом старте.

Т.е. проинтегрировать? А мы что до этого делали?

до этого мы находили правую часть pdp=dy/(1-4y^3)

Итого:

как-то тяжко получается

А условие точно правильное?

вроде да
но если оно неверное вдруг (возможно опечатка в методичке) то каким очень похожим можно его заменить?