Верно,что из любой последовательности можно выбрать монотонную подпоследовательность?

Здравствуйте,

интересно, что этото вопрос мы решали на Математическом форуме в Чехии

я давала ссылку на материал А. Я Дороговцев. Математический анализ - стр. 73, теорема 16. Но еще раз повторяю (по-русски), что строгость доказательства не могу оценить.

Удачи

Думаю, можно так это доказать.
Без ограничения общности можно считать, что все члены последовательности различны (любой другой случай можно легко свести к этому).
Последовательность а(1), а(2), ....
За первый член выбираемой монотонной подпоследовательности берем а(1). Далее, в одном из множеств (-00, а(1)) или (а(1),+00) содержится бесконечное число членов исходной последовательности. Допустим, это первый интервал. Тогда будем строить монотонно убывающую подпоследовательность. Пусть к1 - наименьший номер, такой, что а(к1) содержится в (-00, а(1)) . Тогда а(к1) возьмеи за второй член строю(я?)щейся подпоследовательности. Теперь рассмотрим множество (-00, а(к1)). В нем опять бесконечно много членов исходной последовательности с номерами, большими к1. Поймите, почему. Пусть к2 - наименьший номер, такой, что а(к2) содержится в (-00, а(к1)) . Тогда а(к2) возьмеи за третий член строю(я?)щейся последовательности. И т.д.

А почему всегда будет бесконечное кол-во членов?
"В нем опять бесконечно много членов исходной последовательности с номерами, большими к1"

Уже ответил на другом форуме. Приведенное выше доказательство не охватывает всех возможных случаев, а потому неполно. Привожу доказательство, которое описал в упомянутом форуме.


Если последовательность неограничена, например, сверху, то из нее всегда (очевидным, но нудно описываемым методом) можно выбрать монотонно возрастающую подпоследовательность. Если не понятно - придется все-таки описать. Аналогично снизу. Если посл-ть ограничена, т.е. заключена в некотором интервале (А,В), то она обязательно имеет хотя бы одну предельную точку (теорема из матанализа). Пусть а - предельная точка. Это значит , что существует подпоследовательность исходной последовательности, сходящаяся к а. Рассмотрим 2 случая:
1) В этой подпоследовательности есть бесконечно много членов, равных а. Тогда, составляя из них новую подпоследовательность, будем иметь монотонную (ее можно назвать хоть убывающей, хоть возрастающей) подпоследовательность исходной последовательности (чего и добиваемся).
2) Таких членов конечное число. Удалим их. Тогда останется подпоследовательность исходной последовательности, которая сходится к а, но все члены которой отличны от а. С ней и будем работать, называя ее последовательностью а(1), а(2), .....
Легко доказать следующее утверждение: либо В ЛЮБОЙ левой окрестности (а-е,а) есть бесконечно много членов этой последовательности, либо В ЛЮБОЙ правой окрестности (а,а+е) есть бесконечно много членов этой последовательности (от противного, тогда легко построить обычную двухстороннюю окрестность точки а, в которой нет ни одного члена последовательности, а потому число а не может быть ее пределом).
Без ограничения общности будем считать, что В ЛЮБОЙ левой окрестности (а-е,а) есть бесконечно много членов последовательности а(1), а(2), .... . Тогда будем строить монотонно возрастающую подпоследовательность a(n1), a(n2),....
Рассмотрим левую окрестность (а-1,а). В ней по предположению бесконечно много членов последовательности (отличных от а!). В качестве первого члена a(n1) строящейся подпоследовательности берем любой из них. Далее, рассмотрим левую окрестность (а(n1),a). В ней бесконечно много членов исходной последовательности (не равных а!). Любой из них берем в качестве a(n2). Далее рассматриваем левую окрестность (а(n2),a) и выбираем из нее a(n3) - это любой из находящихся там членов исходной последовательности. И т.д. . Ч.т.д.

СПАСИБО БОЛЬШОЕ!!!!!
Нет,описывать не надо). Случай с неограниченной послед. мне понятен.
И,по-моему он не нудный:из неограниченной посл. выбираем последовательность->00, а из нее выбираем монотонную.

Не так уж все просто. Если последовательность ->+00, то она не обязана быть монотонно возрастающей, но таковую подпоследовательность всегда можно из нее выделить неким процессом, про который я намекал.