Задание:Найти общее решение ДУ
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Решение:
заменим y'=z значит y"=z'
получим
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
z'=dz/dx следовательно
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
тут возникают непонятки дальше то что

Если я не ошибаюсь, то в этом случае надо делать замену y'=p(y), тогда y''=p*dp/dy.

Не ошибаетесь

Такую замену делают, когда самой функции у(х) не присутствует в уравнении.

получим
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Далее нужно видимо разделить переменные, но как разделить р(у) - не знаю

Получим
2p dp/(p^2 + p^4) = -dy/y

Интегрируем
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
теперь вместо р нужно подставить у' ? Верно?

Сначала выразим р:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Подставим:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

А дальше как решать

ln (p^2/(p^2 + 1)) = -ln y + C1
p^2/(p^2 + 1) = C1/y
1 - 1/(p^2 + 1) = C1/y
1/(p^2 + 1) = 1 - C1/y
p^2 + 1 = y/(y - C1)
p^2 = y/(y - C1) - 1
p^2 = C1/(y - C1)
p = +- (C1/(y - C1))^(1/2)

Ах, вон чего!!!

...отлично, мы получили выражение Дальше нужно будет заменить переменную р = y' ? Так? ... или нет...

Совершенно верно, делаем обратную замену.

... и получаем выражение вида

у' = +- (C1/(y - C1))^(1/2)

где у'=dy/dx верно?

dy/dx = +- (C1/(y - C1))^(1/2)

здесь нужно разделить переменные (у - влево, dx - вправо) Так?

точно

далее

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

правильно?

Вроде да. Только +С забыли да еще корень из с1 можно обозначить, например, как с2.

Значит выражение
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
можно считать общим решением данного ДУ?

Думаю, что можно.

Урррррраааа!!!!!

Спасибо ВАМ tig81 и Тролль!