Здравствуйте!
Помогите пожалуйста хотябы с началом хода решения. Пробывал по-разному подходить но постоянно в тупик попадаю...

Нужно определить сходится ли ряд и если да, то абсолютно ли.
Заранее огромное спасибо!!!

Начнте с проверки необходимого признака сходимости.

Этот ряд сходится, так как общий член ряда ведет себя как O(1/n^2), а ряд 1/n^2 сходится.

Да, проверял. Необходимое выполняется...

Спасибо огромное! Если Вас не затруднит, поясните пожалуйста вот этот момент хотябы в 2-ух словах:
Интересует как это можно доказать...

Во-первых, О-больше- это оценка сверху, к тому же грубая(иначе пишут o-малое), а во вторых тут с первым же членом загвоздка, т.к. там деление на нуль получается.

Да? У нас О определялось по другому, не через оценку сверху, а через предел отношения функции и выражения, стоящего в скобках у О.
Здесь наверное суммирование просто с 1 ведется, вот и всё.

О(а) обозначает число, абсолютная величина которого не превосходит константу, умноженную на |a|. Т.е. мы можем написать, что 1+2+3+..+n=O(n^10) и это будет верно.
Но почему его можно сравнить с 1/n^2 я не понимаю, по-моему первый ряд всё-таки больше. Хотя я тоже получил, что он сходится, только как знакопеременный.

Ну хорошо, пусть будет такое определение.
Если рассмотреть ряд |a_n|, то общий член ведет себя как
3 * sin 45/(2 * n^2)

Почему вы так решили? Если вы сразу модули проверяете, то можно выкинуть первый синус.

Что именно решил? Тут можно применить признак сравнения, вот я его и применил. А первый синус особой роли не играет, можно отбрасывать, можно и не отбрасывать.

Кажется понял, вы предельный признак использовали, а не первый признак сравнения.

Ну да. Можно и через первый признак тоже сделать.

Спасибо всем огромное!
Основное понял. Хочу только уточнить имею ли я право по такому алгоритму исследовать сходимость в данном случае:
- ряд знакопеременный
- рассматриваем ряд из модулей слагаемых
- 1-ый множитель (синус) всегда равен (корень из 2)/2
- 3-ий множитель sin(1/n) заменяем на эквивалентную бесконечно малую величину 1/n
- получаем ряд из (3n+1)/(2n^3+5n)
- полученный ряд монотонно убывающий, значит исследуем его находя его придел
- придел равен нулю, значит ряд абсолютно сходится
- ряд абсолютно сходящийся значит он собственно и сходящийся

Это справедливо?

Если под пределом ряда понимается предел общего члена при n->бесконечность, то этого недостаточно.

Под пределом понимал при n стремящимся к бесконечности:
lim sin(45) * (3n+1)/(2n^2+5) * sin(1/n), т.е. lim sin(45) * (3n+1)/(2n^2+5) * (1/n)

я так и понял, это необходимый признак, но не достаточный.

У меня просто почему-то было записано, что для знакопеременных рядов монотонно убывающих (возрастающих) по абсолютной величине этого достаточно... Наверно что-то напутал...

Тогда вопрос по признаку сравнения... Выше советовалось сравнить с Но если я не ошибаюсь этот ряд меньше исходного... Или я не прав?

Вот так верно.

Не прав, если сравнивать с х^(-2), то нужно использовать предельный признак сравнения.

Спасибо за поправку! Понял...

Проверьте пожалуйста такой ход действий:
- ряд знакопеременный
- рассматриваем ряд из модулей слагаемых
- 1-ый множитель (синус) всегда равен (корень из 2)/2
- 3-ий множитель sin(1/n) заменяем на эквивалентную бесконечно малую величину 1/n
- получаем ряд из (3n+1)/(2n^3+5n)
- иссследуем полученный ряд по предельной теореме сравнения (делим на 1/(n^2) и находим предел)
- придел равен 3/2, 1/(n^2) - сходится, а значит ряд (3n+1)/(2n^3+5n) сходится
- ряд из модулей сходящийся, значит исходный ряд сходится абсолютно
- исходный ряд абсолютно сходящийся значит он собственно и сходящийся

Так можно? Просто смущает, что у меня сумма от нуля, а в предельном признаке от единицы...

Всё верно, от нуля сумма идти не может, посчитайте чему будет равен нулевой член.