Здравствуйте,у меня вопрос:

Найти область сходимости степенного ряда:
a(n)=((3^0.5+i)/3)^n * (z-i)^n

где i - мнимая единица,z - константа, n - номер члена числового ряда.

Я пробовал решить по признаку Коши:
lim( |a(n)|^(1/n) ) < 1
но мне сказали, что данное решение неверно. Как правильно найти область сходимости этого ряда?

P.S. мне также был задан интересный вопрос: если остаток ряда расходится, можно ли г
ворить о сходимости/расходимости всего ряда? (противоречие критерию Коши сходимости ряда не считается строгим доказательством)

Можно так.

Обозначим
y=((3^0.5+i)/3) * (z-i)

Тогда получим ряд с

a(n)=у^n

Это геом погрессия. Сходится только при |y|<1

Поэтому область сходимости искать, решая неравенство


|((3^0.5+i)/3) * (z-i)|<1

Теорема. Ряд сходится или расходится одновременно с любым из своих остатков.

Спасибо за ответ, но, в принципе, решение совпадает с тем, которое дает признак Коши (n входит только в степень, а потому лимит сразу можно отбросить и получится то самое |y|<1). А мне сказали, что такое решение и ответ (который получается в виде двойного неравенства при раскрытии модуля) неверны. Есть ли другие варианты?

Кто сказал-то?

Преподаватель.

Думаю, я прав.
А что другие скажут?

В Демидовиче написано, что степенные ряды, включающие в себя мнимую часть решаются несколько иначе, но вот как - этого там не расписано...