Цитата(uncle-k @ 27.1.2009, 11:05) 
Здравствуйте,у меня вопрос:
Найти область сходимости степенного ряда:
a(n)=((3^0.5+i)/3)^n * (z-i)^n
где i - мнимая единица,z - константа, n - номер члена числового ряда.
Я пробовал решить по признаку Коши:
lim( |a(n)|^(1/n) ) < 1
но мне сказали, что данное решение неверно. Как правильно найти область сходимости этого ряда?
P.S. мне также был задан интересный вопрос: если остаток ряда расходится, можно ли г
ворить о сходимости/расходимости всего ряда? (противоречие критерию Коши сходимости ряда не считается строгим доказательством)
Можно так.
Обозначим
y=((3^0.5+i)/3) * (z-i)
Тогда получим ряд с
a(n)=у^n
Это геом погрессия. Сходится только при |y|<1
Поэтому область сходимости искать, решая неравенство
|((3^0.5+i)/3) * (z-i)|<1
Теорема. Ряд сходится или расходится одновременно с любым из своих остатков.