Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 с вер. 0,5 ; и 5 с вер. 0,7
наудачу выбранный стрелок поразил цель. К какой группе вероятнее всего принадлежит стрелоек.
ЗАРАНЕЕ СПАСИБО !)




Стрелок А поражает цель при нек. условиях стрельбы с вер. 0,8, стрелок В с вер. 0,7 и стрелок С с вер. о,6 был сделан залп по мишени одновременно каждым из стрелков, в рез. чего 2 пули попали в цель.
Найти вероятность того , что стрелок С не попал в цель.

Такое ощущение, что десять человек куда-то делось. А условия правильно записаны?

Обе задачи на формулу переоценки гипотез Байеса.
В первой задаче гипотезы:
Н1 - стрелок из первой группы
Н2 - стрелок из второй группы
Н3 - стрелок из третьей группы

Первая да, на формулу Байеса.
А вторую:

мне кажется, с помощью теоремы умножения для независимых событий нужно решать...
D- 2 пули в цель попали, причем стрелок С не попал - это значит, что попали стрелки А и В. Просто элементарно расписать его и посчитать:
D=A*B*неC

В моем пособии по теории вероятностей есть аналогичная задача, которой я придал для интереса детективный характер. Привожу ее вместе с решением.



Задача 6 . Три охотника пошли охотиться на кабана. Первый из них при выстреле попадает в цель с вероятностью 0.4 , второй – 0.5 , третий – 0.7 . Когда в кустах показался неясный силуэт, охотники выстрелили залпом . В трупе убитого … че-ловека экспертиза обнаружила 2 пули (т.е. попали только двое) . На следствии первый охотник уверял, что он скорее невиновен (т.е. промахнулся именно он), т.к. стреляет хуже всех. Насколько обосновано его заявление?

Снова вводим знакомые нам события : А1 – первый охотник попал, А2 – второй охотник попал и А3 – третий охотник попал. Мы уже знаем вероятности этих со-бытий и им противоположных: Р(А1) = 0.4 , Р(А2) = 0.5 , Р(А3) = 0.7 , Р(Ā1) = 0.6 , Р(Ā2) = 0.5 , Р(Ā3) = 0.3 . Как и ранее, обозначим событие В2 – попало в точности двое (это событие и произошло) . Нам нужно оценить вероятность того, что пер-вый охотник виновен, т.е. вероятность события А1 . До того, как был убит чело-век, шансы события А1 оценивались безусловной вероятностью этого события Р(А1) = 0.4 . Теперь у нас появилась дополнительная информация – произошло событие В2 (попали в точности двое). Эта информация поможет нам сделать пе-реоценку шансов события А1 , т.е. найти условную вероятность этого события Р(А1/В2) . По формуле условной вероятности (13.1) получим

(17.7) Р(А1/В2) = Р(А1*В2) / Р(В2)

Вероятность того, что попали в точности двое, мы уже посчитали в предыдущей задаче – она осталась той же самой, т.к. не меняется от замены кабана челове-ком, а зависит только от мастерства охотников . Поэтому : Р(В2) = 0.41 . Най-дем Р(А1В2) . По определению произведения событий событие А1В2 заключается в том, что попали в точности двое, причем один из них – это первый охотник. Кто же может быть вторым ? Очень сложно не догадаться, что вторым попадальщи-ком может быть только второй или третий охотник . Таким образом, событие А1В2 происходит только тогда , когда происходит хотя бы одно из событий : а) одно-временно первый попал, второй попал, третий промахнулся (т.е. событие А1А2 Ā3) б) одновременно первый попал, второй промахнулся, третий попал (т.е. событие А1Ā2А3) . Тогда по определению суммы событий А1В2 = А1А2 Ā3 + А1Ā2А3 . Точно также, как в предыдущей задаче, легко убедиться, что оба слагаемых пред-ставляют пару несовместных событий, а каждое из них представляет собой про-изведение независимых событий . Поэтому по соответствующим формулам (11.3) и (15.3) получаем Р(А1В2) = Р(А1А2 Ā3 + А1Ā2А3) = Р(А1А2 Ā3) + Р(А1Ā2А3)=
= Р(А1) Р(А2) Р(Ā3) + Р(А1) Р(Ā2) Р(А3) = 0.4 · 0.5 · 0.3 + 0.4 · 0.5 · 0.7 = 0.2 .
Окончательно, из формулы (17.7) получим
Р(А1/В2) = Р(А1В2) / Р(В2) = 0.2 / 0.41 ≈ 0.49 .
Получилось практически "50 на 50" . Так что версии о виновности и неви-новности первого охотника одинаково правдоподобны.

а если просто по теоремам сложения и умножения?

Задачка печальная, конечно...
итак, есть 2 попадания.
Событие, обозначенное Вами как В2, состоящее в том, что из трех стрелков 2 попали:
Р(В2)=P(A1A2неА3+А1неА2А3+неА1А2А3)=0,06+0,14+0,21=0,2+0,21=0,41.
Первые два слагаемых в формуле соответствуют событию "1-й стрелок попал", его вер-ть =0,20.
Третье слагаемое - "1-й стрелок не попал". его вер-ть 0,21.
Так что да, почти одинаковые вероятности.

Но в предложенной автором 1-го сообщения задаче не стоял вопрос - что более вероятно, попал или не попал 1-й стрелок, так что я не знаю, нужна ли тут формула Байеса...
Хотя от метода решения выводы не меняются..

Поэтому в задачах спрашивается о (сравнении) условных вероятностей. Как только о результате эксперимента что-то известно, все вероятности автоматически станут условными. Кроме тех заранее данных вероятностей, которые специально рассматриваются, как будто опыт еще не произведен. Условными все вероятности станут просто потому, что любое знание о результате опыта сужает множество возможных на данный момент элементарных исходов.

Вероятность (безусловная) того, что первый стрелок попал, задана в условии - это 0,8. Первые два слагаемых тут вычисляют вероятность, что первый стрелок попал и попаданий было два. А нужная нам вероятность - это условная вероятность того, что первый стрелок попал, если известно, что попаданий было два. Другое дело, что сравнение условных вероятностей P(X|A) c P(Y|A) есть то же самое, что сравнение P(X*A) с P(Y*A).

ну вот и я о том же...

а Вы тоже считаете, что 2-ю задачу из 1-го сообщения лучше решать по ф-ле Байеса?? это же элементарная задачка на теорему умножения вероятностей! Зачем же так все усложнять...

В приведенном мной решении формула Байеса и не использовалась. Использовалась формула для условной вероятности. ТОчнее, ОПРЕДЕЛЕНИЕ условной вероятности.

В любом случае найти требуется не просто вероятность события "C не попал" (эта вероятность 0,4=1-0,6 дана в условии), а условную вероятность того, что стрелок С не попал в цель, при условии, что две пули попали. Как бы мы ее не искали, она не превратится в безусловную.

Формула Байеса тут не очень в тему, т.к. полная группа событий для формулы Байеса довольно экзотическая: AB(не C), A(не B)C, (не A)BC (не попал только C, или только A, или только B).

Чтобы почувствовать разницу между условной и обычной вероятностью, простой пример. Есть ящик с несколькими шарами. Шары либо все белые, либо все черные. Допустим, одинаково вероятно как то, так и другое. Из ящика берут один за другим два шара. Вот три разные постановки задачи с разными ответами:
1) Первый вынутый шар оказался белым. Какова вероятность, что второй шар белый? (1)
2) Первый вынутый шар оказался черным. Какова вероятность, что второй шар белый? (0)
3) Какова вероятность, что второй шар белый? (1/2)

Во всех трех случаях безусловная (до опыта рассчитанная) вероятность, что второй шар белый (событие A), равна P(A)=1/2. Но в 1-2 случаях спрашивается не про эту вероятность, а про условную вероятность того, что второй шар белый, если то-то и то-то: P(A | 1-й белый) = 1, P(A | 1-й чёрный) = 0.

Согласен, можно обойтись и без нее. Как я уже говорил, приведенное решение на нее и не опирается.
Но если бы я применял ее, то, думаю, в качестве гипотез (по смыслу вопроса) взял бы две: С - попал и С - не попал. Будет ли проще - не знаю, сейчас не пробовал. Думаю, нет, так как в свое время я выбрал именно приведенное решение.