В моем пособии по теории вероятностей есть аналогичная задача, которой я придал для интереса детективный характер. Привожу ее вместе с решением.



Задача 6 . Три охотника пошли охотиться на кабана. Первый из них при выстреле попадает в цель с вероятностью 0.4 , второй – 0.5 , третий – 0.7 . Когда в кустах показался неясный силуэт, охотники выстрелили залпом . В трупе убитого … че-ловека экспертиза обнаружила 2 пули (т.е. попали только двое) . На следствии первый охотник уверял, что он скорее невиновен (т.е. промахнулся именно он), т.к. стреляет хуже всех. Насколько обосновано его заявление?

Снова вводим знакомые нам события : А1 – первый охотник попал, А2 – второй охотник попал и А3 – третий охотник попал. Мы уже знаем вероятности этих со-бытий и им противоположных: Р(А1) = 0.4 , Р(А2) = 0.5 , Р(А3) = 0.7 , Р(Ā1) = 0.6 , Р(Ā2) = 0.5 , Р(Ā3) = 0.3 . Как и ранее, обозначим событие В2 – попало в точности двое (это событие и произошло) . Нам нужно оценить вероятность того, что пер-вый охотник виновен, т.е. вероятность события А1 . До того, как был убит чело-век, шансы события А1 оценивались безусловной вероятностью этого события Р(А1) = 0.4 . Теперь у нас появилась дополнительная информация – произошло событие В2 (попали в точности двое). Эта информация поможет нам сделать пе-реоценку шансов события А1 , т.е. найти условную вероятность этого события Р(А1/В2) . По формуле условной вероятности (13.1) получим

(17.7) Р(А1/В2) = Р(А1*В2) / Р(В2)

Вероятность того, что попали в точности двое, мы уже посчитали в предыдущей задаче – она осталась той же самой, т.к. не меняется от замены кабана челове-ком, а зависит только от мастерства охотников . Поэтому : Р(В2) = 0.41 . Най-дем Р(А1В2) . По определению произведения событий событие А1В2 заключается в том, что попали в точности двое, причем один из них – это первый охотник. Кто же может быть вторым ? Очень сложно не догадаться, что вторым попадальщи-ком может быть только второй или третий охотник . Таким образом, событие А1В2 происходит только тогда , когда происходит хотя бы одно из событий : а) одно-временно первый попал, второй попал, третий промахнулся (т.е. событие А1А2 Ā3) б) одновременно первый попал, второй промахнулся, третий попал (т.е. событие А1Ā2А3) . Тогда по определению суммы событий А1В2 = А1А2 Ā3 + А1Ā2А3 . Точно также, как в предыдущей задаче, легко убедиться, что оба слагаемых пред-ставляют пару несовместных событий, а каждое из них представляет собой про-изведение независимых событий . Поэтому по соответствующим формулам (11.3) и (15.3) получаем Р(А1В2) = Р(А1А2 Ā3 + А1Ā2А3) = Р(А1А2 Ā3) + Р(А1Ā2А3)=
= Р(А1) Р(А2) Р(Ā3) + Р(А1) Р(Ā2) Р(А3) = 0.4 · 0.5 · 0.3 + 0.4 · 0.5 · 0.7 = 0.2 .
Окончательно, из формулы (17.7) получим
Р(А1/В2) = Р(А1В2) / Р(В2) = 0.2 / 0.41 ≈ 0.49 .
Получилось практически "50 на 50" . Так что версии о виновности и неви-новности первого охотника одинаково правдоподобны.