Задача: Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену an*x^n, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала: 2^n*x^n/(6^n+3^n).

Решение:
Три первых члена: а1*x=2*x/9; а2*x=4*x^2/45; а3*x=8*x^3/243.
Находим радиус сходимости ряда: R = lim (n->~) | 2^n/(6^n+3^n) / 2^(n+1)/(6^(n+1)+3^(n+1))| = |9/2|.
Получаем что ряд сходится при х Э (-9/2; 9/2).

Надеюсь все правильно сделал, дальше получается при x=9/2 => 9^n/(6^n+3^n)
и при x=-9/2 => (-9)^n/(6^n+3^n). Объясните пожалуйста как далее исследовать сходимость и что должно получиться??? Если вдруг сразу решение напишите, то пожалуйста с объяснением почему!

Предел, по-моему, неправильно найден.

a_n/a_{n + 1} = 2^n/(6^n+3^n) / 2^(n+1)/(6^(n+1)+3^(n+1)) и что дальше я честно не знаю))) Чайник я...

a_n = 2^n/(6^n + 3^n) = 2^n/(3^n * 2^n + 3^n) = 2^n/((3^n * (2^n + 1)) =
= (2/3)^n/(2^n + 1)
Тогда
a_n/a_{n + 1} = ((2/3)^n/(2^n + 1))/((2/3)^(n + 1)/(2^(n + 1) + 1)) =
= 3/2 * (2^(n + 1) + 1)/(2^n + 1) = 3/2 * (2 * 2^n + 1)/(2^n + 1) =
= 3/2 * 2^n * (2 + 1/2^n)/(2^n * (1 + 1/2^n)) =
= 3/2 * (2 + 1/2^n)/(1 + 1/2^n) -> 3/2 * (2 + 0)/(1 + 0) = 3 при n -> 00.
R = 3.
|x| < 3.
При x = 3 или x = -3 получаем ряды
summa 6^n/(6^n + 3^n) и summa (-6)^n/(6^n + 3^n)
Эти ряды расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда

Спасибо. Только я не пойму, почему девушку просили решить это задание используя интегралы??? Я в интеренете нашел приблизительно такой же пример и там тоже без интегралов. Может девушка мне что то не то сказала?

Наверное.

Еще два вопросика, а почему Вы 1/2^n заменяете на 0, а не на единицу??? Ведь при n -> 0 Число в степени n стремится к единице!

((2/3)^n/(2^n + 1))/((2/3)^(n + 1)/(2^(n + 1) + 1)) =
= 3/2 * (2^n + 1)/(2^(n + 1) + 1), а не наоборот 3/2 * (2^(n + 1) + 1)/(2^n + 1)???
Я когда в институтах учился ряды не проходил, просто вообще не понимаю смысла... Уже прям для себя хочется разобраться...

Там не n -> 0, а n -> 00, поэтому 1/2^n -> 0
По поводу второго - неправильно просто записал, исправил.
R нашел правильно, просто тяжело решать не на бумаге, вот и забыл переставить местами числитель и знаменатель.

Спасибо огромное, теперь все понятно!!!