Помогите пожалуйста мне в решении задачи! Задача звучит так: Дана матрица А линейного отображения в некоторои ортогональном базисе. Привести матрицу А к диагональному виду путем перехода к новому ортогональному базису... Матрица выглядит так:
2 4 4
4 2 -4
4 -4 2

Есть у меня методичка, в которой рассмотрен пример решения подобной задачи... Половину я поняла. а дальше запуталась на нет и не могу ничего понять.
В общем я составила характеристическое уравнение и получилось
2-ƛ 4 4
4 2-ƛ -4 =0
4 -4 2-ƛ
потом из этого получила (ƛ-6)(ƛ^2-36)=0. Далее нашла собственные числа. Получила ƛ1=ƛ2=6 и ƛ3=-6.
Потом приняла вектор е(m,n,p) как искомый собственный вектор. Система у меня приняла такой вид:
(2-ƛ)m+4n+4p=0
4m+(2-ƛ)n-4p=0
4m-4n+(2-ƛ)p=0
Далее, так как ƛ1=ƛ2=ƛ система примет вид:
-4m+4n+4p=0
4m-4n-4p=0
4m-4n-4p=0
Я сократила все уравне6ния на 4. Получила:
-m+n+p=0
m-n-p=0
m-n-p=0; отсюда следует что m-n-p=0
Всякий вектор удовлетворяющий этому уравнению является собственным. Кроме того векторы (m,n,p) и (1,-1,-1) - ортогональны...

Начиная с этого момента я запуталась и не могу понять абсолютно ничего. При ƛ=-6 берется два вектора е1=(1,-1,-1) который мы нашли выше и е2 - непонятно откуда взять координаты для этого вектора. Потом находится третий вектор, но я поняла как его надо найти. Вся загвоздка в том, откуда взять этот е2!??!

И ещё... Потом находится ортонормированный базис, то есть
е1=(1/число,-1/число,-1/число), аналогично на это же "число" делятся и координаты е2 и е3... Не могу тоже понять что это за число и как его вообще находить... Нигде ничего не могу найти. Помогите пожалуйста и подскажите кто знает!!!

вектор (1,-1,-1) не удовлетворяет уравнению m-n-p=0

это число равно длине вектора е1.
Например е1=(1,1,1), тогда непонятное число равно |е1|=sqrt(1^2+1^2+1^2)=sqrt(3), тогда новый ортонормированный вектор f1=е1/|е1|=(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3))

Спасибо, что показали ошибку. Это тогда этот вектор может быть например (1,1,0)? или этот (1,0,1)? Есть разница какой брать? Извините сразу за мое непонимание.

Здесь надо брать оба эти вектора. Т.е. для собственного значения 6 у вас будет два собственных вектора.

Спасибо огромное! Я все поняла. Просто непонятно в чем запуталась и допустила ошибку. Теперь мне все понятно! Ещё раз спасибо!

пожалуйста.