Имеется ряд n=1 до беск ∑ n*sin[(2+(-1)^n)/n^3]
Заменяем синус на эквивалентную бм, получаем: n=1 до беск ∑ (2+(-1)^n)/n^2)
А вот дальше... Вроде напрашивается предельный вариант т-мы сравнения, но смущает (-1)^n и слова препода, что предел здесь вообще говоря неприменим
Что посоветуете?

Одно можно сказать однозначно -- ряд расходится (программа Mathematica), а вот как это доказать....

С другой стороны, sin[(2+(-1)^n)/n^3] < (2+(-1)^n)/n^3<=(2+1)/n^3=3/n^3
Тогда n*sin[(2+(-1)^n)/n^3]<3/n^2 и тогда ряд сходится...
Странно, странно....

По-моему всё-таки ряд сходится.

Хм... А ведь точно
Зациклился на одной теореме и не подумал, что можно просто сравнить.
Спасибо!

Сравнить (в предельной форме) с рядом ∑ 1/n^2

Насчёт этого написал же в первом посте
Преподаватель показал на (-1)^n и сказал, что предел здесь применять нельзя.
Ведь предел при n -> беск. [2+(-1)^n] вроде как не существует (поправьте, если не так)

Да, такой предел не существует. Но он и не нужен. Зато существует предел

при n -> беск. [(2+(-1)^n)/n^3] и равен 0 (т.е. под синусом - бесконечно малая).
При всех n синус положителен, поэтому ряд - положительный и к нему применим признак сравнения в предельной форме. При вычислении предела (при сравнении указанных рядов) синус бесконечно малой можно заменить на саму бесконечно малую и все получится.