Добрый вечер, уважаемые форумчане. Есть две задачки:

1. Есть две урны. В первой урне находятся 3 белых и 6 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Наугад выбирается урна и из нее извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся черными?

Решение: Пусть событие Н1 = {извлечены шары из 1й урны}, событие Н2 = {извлечены шары из 2й урны}, P(H_1 )=P(H_2 )=1/2. Событие А = {извлечено 2 чёрных шара}. P(A⁄H_1 )=(C_6^2)/(C_9^2 )=6!/2!4!∙2!7!/9!=5/12, P(A⁄H_2 )=(C_4^2)/(C_8^2 )=4!/2!2!∙2!6!/8!=3/14. Воспользуемся формулой полной вероятности: P(A)=P(H_1 )∙ P(A⁄H_1 )+P(H_2 )∙ P(A⁄H_2 )=1/2∙5/12+1/2∙3/14=1/2∙(35+18)/84=53/168≈0.315

здесь мне кажется, что я справилась с решением, но не уверена до конца.

2.Случайное событие А в каждом из 160 повторных независимых испытаний происходит с вероятностью 1/3. Найти (а) вероятность того, что это событие произойдет 20 раз, (б) вероятность того, что событие произойдет от 15 до 30 раз.

Решение: (а) Воспользуемся формулой Бернулли: P_n (k)=C_n^k∙p^k∙q^(n-k),n=160,k=20,p=1/3,q=1-p=1-1/3=2/3. P_160 (20)=C_160^20∙(1/3)^20∙(2/3)^140=160!/20!140!∙2^140/3^160
(б) P_160 (15≤k≤30)=P_160 (15)+P_160 (16)+P_160 (17)+P_160 (18)+P_160 (19)+P_160 (20)+P_160 (21)+P_160 (22)+P_160 (23)+P_160 (24)+P_160 (25)+P_160 (26)+P_160 (27)+P_160 (28)+P_160 (29)+P_160 (30)

А вот во второй задаче у меня ступор. В (а) получилась очень громоздкая дробь, вычисляется прямо-таки не очень. А вот в (б) вообще не понимаю, неужели нужно считать здоровенные дроби 15 раз? Может, я что-то не так делаю?

Заранее благодарю за помощь!

1. Верно (арифметику не проверял).

2. В случае большого числа испытаний в схеме Бернулли (у Вас n=160 - это много) расчет по точным формулам (Бернулли) практически невозможен. В этом случае применяют приближенные формулы. В Вашем случае это локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Задача именно на применение этих формул. Найдите их и поймите, как ими пользоваться.

пункт (б) решала по интегральной теореме Муавра-Лапласа, вроде бы все понятно, но вероятность у меня получается отрицательной, чего быть в принципе не может. Либо я неправильно применила формулу, либо все-таки значение функции Лапласа нашла неправильные. Подскажите, пожалуйста.

Похоже, что Ф(6.43) и Ф(3.91) Вы смотрели по разным таблицам. Смотрите по одной.

Всем, добрый день! Очень нужна подсказка. Была задана следующая задача: На контроль поступила партия деталей. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.
Мое решение было таким: Берём n деталей
Вероятность того, что среди них нет бракованных равна 0,95^n
Вероятность того, что среди них есть хотя бы одна бракованная равна
1-(0,95^n). Нам надо чтобы она была >=0,95, то есть 1-(0,95^n)>=0,95

Дальше идёт школьная арифметика, в результате имеем

n>=log(0,05 по основанию 0,95)>58

отсюда n>=59
Но преподаватель, сказал, что эта задача решается по схеме Бернулли, и я уже 3й день ломаю голову Дана партия деталей, но не сказано, сколько это конкретно, n - ? И получается, что либо у меня не хватает данных, либо я, как истинная блондинка))) их в упор не замечаю? Подскажите, в чем моя ошибка? Заранее, спасибо!

Вы решили задачу правильно, причем самым коротким путем.
Поэтому я не понимаю, почему Вы должны решать ее каким-то другим способом.

Вы решили ее по формуле вероятности появления хотя бы одного события из группы независимых в совокупности событий. И это правильно.

Можно, конечно, притянуть сюда схему Бернулли.
Например, так.

Число деталей неизвестно, но сказано, что 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Это означает на человеческом языке вот что: деталей очень много, а для любой наугад выбранной детали вероятность быть нестандартной одна и та же и равна р=0.05.

Пусть выбрано n деталей. Это означает, что по схеме Бернулли проведено n независимых (так как в каждом из них вероятность выбора бракованной не меняется) экспериментов (по выемке детали).
Событие А - вынутая деталь нестандартна. В каждом эксперименте Р(А) одна и та же: р=Р(А)=0.05 . Тогда q=1-0.05=0.95 .
Нужно найти вероятность события В - в n испытаниях событие А произошло хотя бы один раз.

Рассмотрим противоположное событие: (неВ) - событие А ни разу не произошло в n испытаниях. Тогда Р(В)=1-Р(неВ).
Р(неВ) считаем по формуле Бернулли:
Р(неВ)=Р_n(0)=C_n^0*p^0*q^n=1*1*q^0=0.95^n.
Тогда
Р(В)=1-0.95^n.
И приходим к такому же неравенству.

Спасибо огромное! Завтра отнесу на проверку и узнаю вердикт))) Может, преподавателя еще что-то не устроит)))

P.S. Ура, ура, сегодня наконец была проверена задача и ответ был принят в зачет!!!! Венеамин, еще раз спасибо за Вашу помощь!!!