Нужно найти общее решение
X^2*(lnX)^2*Y''-2X*lnX*Y'+(lnX+2)*Y=(lnX)^4,
убедившись, что Y1(X)=lnX явл-ся решением
соответствующего однородного уравнения.
Я подставила Y1 в однородное уравнение и все сошлось.
Это уравнение должно иметь решение вида С1*Y1(X)+C2*Y2(X), если я правильно понимаю. Но Y2 не дано. Да и для нахождения С1 и С2 методом вариаций данных нету тоже.
И в какую сторону плыть?

А может решение искать в виде C1(X)*(lnX+1) - C2(X)*1, т.е. разбить Y1 на две функции (lnX+1) и (-1)?
Тогда получается система:
С1'(X)*(lnX+1)-C2'(X)=0
C1'(X)*(1/X)=(lnX)^4

Почитайте про определитель Вронского и формулу Лиувилля — Остроградского.

Спасибо, сейчас почитаю.

А должно по формуле получиться Y2=X^3*lnX/12? Проверьте, пожалуйста.
Общее решение получилось Y=C1*lnX+C2*X^3*lnX/12. Правильно?

Ошиблась в вычислениях, но теперь вроде бы все ясно. Спасибо.

На здоровье