Последовательность (8n+1)/(4n+2). Показать с помощью определения, что предел равен 2.

Как обычно модуль меньше эпсилон и т.д. Выражаю n. И все. Это всё доказательство?

Ну ведь, с другой стороны, я могу вместо 2 под знак модуля поставить 3. И тоже n смогу выразить, значит тройка тоже предел. Но ведь это не так.

В чем суть-то этого метода?
Нам в универе говорили: нужно показать, что такой n существует. И все. Но он может существовать и при других наугад взятых значениях предела.

Приведите полное доказательство, а то не очень понятно, что Вы имеете в виду.

Посмотрите подобные примеры, например, в Рябушко

В приложении пример и еще раз вопрос))Нажмите для просмотра прикрепленного файла

3 как предел последовательности?
Наверное, не при любом n, а не при любом эпсилон. Т.е. можно будет указать такое эпсилон, что неравенство не будет выполнятся. Наверное это, не до конца понимаю вопрос.

Да, я определение немного спутала. При любом эпсилон.
Ну а как это видно: при любом или нет: Вот я получила неравенство. Как я могу судить, при любом или нет эпсилон оно выполняется?

Просто для меня это какое-то абстрактное доказательство получается. Просто так, "по социальному заказу" пишу: это верно. Даже не понимая, почему верно. И сдаю работу преподавателю.

Кстати, пример с пределом 2 я верно решила?

выразите n

а можете подробнее расписать, как n выражали?!

В вашем первом примере при n=3/(4эпсилон) неравенство будет верным, а для любого большего n тем более (легко убедиться). А как вы знаете, у последовательности существует только один предел. Попробуйте взять в качестве кандидата 3, увидите что требуемое неравенство будет выполняться только при n<(2eps+5)/(9-4eps). И, например, при eps =1 неравенство |an-A|<eps не будет выполняться ни для каких n>1.