Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Полная версия: x^2*y' + x*y + 1 = 0 > Дифференциальные уравнения
Образовательный студенческий форум > Высшая математика > Дифференциальные уравнения
Magicman
Здравствуйте!

Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение методом вариационной постоянной

x^2*y' + x*y + 1 = 0

Я так понимаю, что сначала делить нужно на x^2, если так, то как дальше

Спасибо!
Тролль
Решается с помощью метода вариации постоянной (метод Лагранжа).
Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0
Отсюда получаем, что y = C/x.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид y = C(x)/x.
Подставляем в уравнение и получаем, что C'(x) * x = - 1 => C(x) = -ln |x| + C
Ответ: y = (C - ln |x|)/x.
Magicman
Цитата(Тролль @ 24.1.2011, 9:18) *

Решается с помощью метода вариации постоянной (метод Лагранжа).
Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0
Отсюда получаем, что y = C/x.
Тогда решение исходного уравнения имеет вид y = C(x)/x.
Подставляем в уравнение и получаем, что C'(x) * x = - 1 => C(x) = -ln |x| + C
Ответ: y = (C - ln |x|)/x.


Тролль

Сначала решаем однородное уравнение x^2 * y' + x * y = 0

Объясните пожалуйста поподробнее как мы рассуждаем, и куда делась +1, что мы сделали?

Тролль
Мы оставляем только ту часть, в которой содержится y' и y, а остальное убираем. Это метод Лагранжа.
Magicman
Цитата(Тролль @ 24.1.2011, 17:33) *

Мы оставляем только ту часть, в которой содержится y' и y, а остальное убираем. Это метод Лагранжа.


Тролль

Если так, то у меня получилось уравнение:

x^2*y+x*y=0

Что дальше можно сделать?
tig81
Цитата(Magicman @ 24.1.2011, 22:56) *

x^2*y+x*y=0

штрих потеряли. ДУ с разделяющимися переменными.
Magicman
Цитата(tig81 @ 25.1.2011, 0:57) *

штрих потеряли. ДУ с разделяющимися переменными.


tig81

Попробую, итак:

x^2*y'+x*y=0

y'+y/x=0

dy/dx+y/x=0

dy/y=-dx/x

ln(y)=-ln(x)+lnС

y=-x/y

А как дальше не знаю)))
tig81
Цитата(Magicman @ 24.1.2011, 23:03) *

tig81
Попробую, итак:
x^2*y'+x*y=0
y'+y/x=0
dy/dx+y/x=0
dy/y=-dx/x
ln(y)=-ln(x)+lnС

Верно
Цитата
y=-x/y

Это как получили?
Цитата
А как дальше не знаю)))

А вот так
Тролль
Только не y = -x/y.
ln y = -ln x + ln C
ln y = ln C - ln x
ln y = ln (C/x)
y = C/x
А дальше считаем, что C - не константа, а функция, то есть y = C(x)/x.
И подставляем в уравнение x^2 * y' + x * y + 1 = 0.
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:13) *

Только не y = -x/y.
ln y = -ln x + ln C
ln y = ln C - ln x
ln y = ln (C/x)
y = C/x
А дальше считаем, что C - не константа, а функция, то есть y = C(x)/x.
И подставляем в уравнение x^2 * y' + x * y + 1 = 0.


Тролль

Вот здесь я уже не понимаю как делать нужно, напишите пожалуйста как и с чего начать, инструкцию в ссылке я уже прочёл)))
Тролль
Чему равно y', если y = C(x)/x ?
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:21) *

Чему равно y', если y = C(x)/x ?


Тролль

y' = [C(x)/x]'
Тролль
А дальше?
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:34) *

А дальше?


Тролль

x^2*[C(x)/x]' + x*[C(x)/x] + 1 = 0

Правильно?
Тролль
Да, только я имел в виду - чему равно [C(x)/x]' ?
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 1:49) *

Да, только я имел в виду - чему равно [C(x)/x]' ?


Тролль

[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2


Тролль
Какую формулу использовали?
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:05) *

Какую формулу использовали?


Тролль

(u/v)' = (u' * v - u * v')/v^2
Тролль
Да, тогда почему вот такая ерунда получилась?
[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:12) *

Да, тогда почему вот такая ерунда получилась?
[C(x)/x]'=[C(x)/x]'-C(x)/x^2


Тролль

Подскажите пожалуйста как будет правильно?

Напишите вычисления производной, пожалуйста?
Тролль
Цитата(Magicman @ 25.1.2011, 1:09) *

Тролль

(u/v)' = (u' * v - u * v')/v^2


u = C(x), v = x
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:15) *

u = C(x), v = x


Тролль

[C(x)/x]'=(C(x)' * x - C(x) * x')/x^2
Тролль
Да, только x' чему равно?
Тролль
А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:20) *

Да, только x' чему равно?


Тролль x' = 1

[C(x)/x]'=(C(x)' * x - C(x))/x^2



Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:30) *

А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.


Тролль

В исходное уравнение подставляем, правильно?
Тролль
Теперь дальше, как я уже написал.

Правильно.
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:30) *

А дальше подставляем в уравнение и находим C'(x). Потом находим C(x) и подставляем в y = C(x)/x. Получаем ответ.


Тролль

[(C(x)' * x - C(x))/x^2]*x^2 + x*[C(x)/x] + 1 = 0
Тролль
Находите C'(x).
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:43) *

Находите C'(x).


Тролль

Как его найти, Вы имеете в виду отдельно от C(x)/x?
Тролль
Скобки раскройте.
Тролль
А потом приведите подобные и всё получится.
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 2:44) *

Скобки раскройте.


Тролль

(C(x)' * x - C(x))+C(x)+1=0

C(x)' * x+1=0
Тролль
C'(x) выражайте.
Magicman
Цитата(Тролль @ 25.1.2011, 9:54) *

C'(x) выражайте.


Тролль

Я же уже подставил, другого пути не знаю)))
Тролль
Цитата(Magicman @ 25.1.2011, 2:32) *

Тролль

(C(x)' * x - C(x))+C(x)+1=0

C(x)' * x+1=0


Чему отсюда равно C'(x)?
Magicman
Цитата(Тролль @ 26.1.2011, 15:08) *

Чему отсюда равно C'(x)?


Тролль

Напишите пожалуйста, у меня ерунда получается)))
Тролль
Какая ерунда получилась?
Это текстовая версия — только основной контент. Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, нажмите сюда.
Русская версия Invision Power Board © 2001-2024 Invision Power Services, Inc.