Тело двигается прямолинейно со скоростью пропорциональной времени. Найти уравнение движения тела, если от начала отсчёта времени оно прошло 20 м за 10 с , а 35 м за 20 с.

Пусть х=х(t) - расстояние, пройденное за t секунд.
Тогда производная х'(t) - скорость в момент времени t. По условию
х'=k*t ,
где k - коэффициент пропорциональностьи (пока неизвестный).
Простейшее д.у. - решаеся однисм интегрированием. В решении остается неизвестный параметр k и появляется произвольная постоянная С. Оба эти параметра определяются из условий задачи:
х(10)=20, х(20)=35.

Можно ли составить такое уравнение из условия х'=k*t ?:
x'=10*k
S x'= S 10*k
и т.к. х=х(t) - расстояние, пройденное за t секунд.
S x'= S 10*k 20= S 10*k 5*k^2+c=20
Подскажите как определить оба неизвестных параметра k и C ?

Почти так.

х'=k*t
Функция по своей производной определяется интегрированием:
x(t)=S[k*t] dt=k{S t dt}=(k/2)*t^2+C.
Итак,
x(t)=(k/2)*t^2+C
Осталось определить числа k и С. Для их определения из условия задачи получаем систему уравнений:

(k/2)*(10^2)+C=20
(k/2)*(20^2)+C=35

{c=20-50k
200k+20-50k=35}
150k=15
k=0,1
c=15
Ф-ция: x(t)=0,05*t^2+15
Спасибо за помощь!