Почти так.

х'=k*t
Функция по своей производной определяется интегрированием:
x(t)=S[k*t] dt=k{S t dt}=(k/2)*t^2+C.
Итак,
x(t)=(k/2)*t^2+C
Осталось определить числа k и С. Для их определения из условия задачи получаем систему уравнений:

(k/2)*(10^2)+C=20
(k/2)*(20^2)+C=35