Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления
х"+х'-2х=t-1, x(0)=x(0)'=0

А что не получается? Простой пример по-моему.
x'(t) -> p * x(p) - x(0)
Аналогично x''(t) и t - 1.

p^2X(p)-px(0)-x'(0)+pX(p)-x(0)-2X(p)=(1/p^2)-1/p
X(p)(p^2+p-2)=(1/p^2)-1/p
X(p)=((1/p^2)-1/p)/(p^2+p-2)
А дальше как? Мне не понятно!

Дальше нужно привести к одному знаменателю, а затем полученную дробь разложить на простейшие дроби.

X(p)=(1-p)/(p^2*(p+2)*(p-1))=A(p+2)(p-1)+B(p^2(p-1))+C(p^2(p+2))/p^2*(p+2)*(p-1)
1-p=A(p+2)(p-1)+B(p^2(p-1))+C(p^2(p+2))
Так?

Нет.
(1 - p)/(p^2 * (p + 2) * (p - 1)) = A/p + B/p^2 + C/(p + 2) + D/(p - 1)

все понятно,кроме A/p

А что там понимать? Это стандартное разложение на простейшие дроби. Если в знаменателе есть (p - a)^n, то в разложении будут дроби со знаменателями p - a, (p - a)^2, ..., (p - a)^n.

понятно,спасибо
тогда
1-p=A*p^2(p+2)(p-1)+B*p(p+2)(p-1))+C(p*p^2(p-1))+D(p*p^2(p+2)
так?

Нет, как Вы такое получили?

A/p + B/p^2 + C/(p + 2) + D/(p - 1) привела к общему знаменателю

Нужно умножить левую и правую часть на общий знаменатель.

понятно

Нет, неправильно получилось.

1-p=A*p(p+2)(p-1)+B*(p+2)(p-1))+C(p^2(p-1))+D(p^2(p+2)
так?

Да, теперь правильно.

ответ должен быть x(t)=(1/4)-((1/2)*t)-(1/4 e^-2t)
я вместо p подставила значения,но такой ответ не получается

Какие получились А, В, С и D?

A=1,B=-1/2,C=-1/4,D=2

Неправильно, проверяйте.