Исследовать функцию и построить график

Подскажите пожалуйста, правильно ли я начала решать???

g(x) = (2x^2+x+1)*e^(1-x)

Решение:

1. Область определения Д (у) = (-бесконечн, + бесконечн)

2. ф-я ни четная, ни нечетная
у(-х) = (2(-х):2-х+1)*е^(1+x)=(2x^2-x+1)*e^(1+x)

3. Ф-я не явл периодичн.

4. Интервалы возрастания и убывания
производная у = e^(1-x) * (2x^2+5x+2)
производная у=0, при х=-2

Функция возрастает при х (-бесконеч;-2)
убывает при х (-2; +бесконеч)

5. Выпуклость и вогнутость кривой
у" = е^(1-x) * (2x^2+9x+7)
у" = 0 при х=-1

х (-бесконечн;-1) : у">0 - кривая вогнута
х (-3; + бесконечн) : у"<0 - кривая выпукла

(-1; 1/е)

Производная неправильно найдена.

спасибо, а подскажите пожалуйста в чем ошибка?
я производную обозначила значком ",
думаю что ошибка в вычислении производной от (e^(1-x))"


у" = (2x^2+x+1)"*e^(1-x) + (e^(1-x))" * (2x^2+x+1) =

e^(1-x) *(4x+1+2x^2+x+1) = e^(1-x) * (2x^2+5x+2)

Производная e^(1 - x) равна -e^(1 - x)

спасибо большое, сейчас буду дальше решать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

у меня получилось e^(1-x) * (3x-2x^2)
производная у=0, при х=0,
функция возрастает при х (-бесконечн,0)
функция убывает при х (0, + бесконечн)
точка максимума (0;2,7)
5. у"=(e^(1-x))" *(3x-2x^2) + e^(1-x) * (3x-2x^2)" = e^(1-x) * (2x^2-7x+3)
у"=0, при х=3
точка перегиба (3;1/е)

6. асимптоты
а) вертикальн: отсутствуют, т.к. функция всюду непрерывна
б) наклонные у= kx+b
lim(x стремящ к +- бесконечности) f(x) /x = k
lim(x стремящ к +- бесконечности) [f(x)-k*x]= b
k= - lim (x стремящ к -бесконечн) ((2x^2+x+1)* * e^(1-x)) / x = 0
k= - lim (x стремящ к +бесконечн) ((2x^2+x+1)* * e^(1-x)) / x = - бесконечн
b= - lim (x стремящ к -бесконечн) (2x^2+x+1) * e^(1-x) = 0
y=0 - наклонная (горизонт) асимпота

7. график


Подскажите правильно или нет?


в п.5 забыла написать:
х (-бесконеч,3) у">0 кривая вогнута
х (3;+бесконеч,3) у"<0 кривая выпукла
точка максимума (0; 2,7)

Пока нет, экстремума два, а не один.

надо найти еще точку минимума?

Уравнение y' = 0 имеет два решения.

y' = 0 при x=0 и x=1 ???

Нет конечно.

(IMG:style_emoticons/default/sad.gif) (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) (IMG:style_emoticons/default/sad.gif) подскажите пожалуйста....

Отсканировала свое решение, посмотрите пожалуйста... подскажите где ошибки


Мне подсказали. что:
4. две подозрительные на экстремум точки: x=0 и x=1.5 , т.е. производная функции равна 0 в этих двух точках.
5. аналогично, две точки перегиба x=3 и x=1/2
6. при стремлении к +бесконечности предел будет равен 0, а при стремл х к - бесконечности равен +бесконечность
примерный график, только я не совсем его поняла:

y' = e^(1-x) * (3x-2x^2)
y' = 0 => e^(1 - x) * (3x - 2x^2) = 0
3x - 2x^2 = 0
x * (3 - 2x) = 0
x1 = 0 или 3 - 2x = 0 => x2 = 3/2
Исправляйте решение, будем дальше смотреть.

5) y' = 0 => e^(1 - x) * (2x^2 - 7x +3) = 0
2x^2 - 7x +3= 0
(x-3) * (2x - 1) = 0
x1 = 3 или 2x - 1 = 0 => x2 = 1/2

а вот что дальше делать незнаюю...

Сначала с y' закончите. Где будет возрастание и убывание, определите знаки.
Получаем две точки перегиба, находим, какие знаки принимает y'' на интервалах.

4) y' (-бесконечн;0) (0;1,5) (1,5;+бесконечн)

при х (-бесконечн;0) функция убывает,
при х (0;1,5) функция возрастает,
при х (1,5;+бесконечн) функция убывает

при х=0 y' =0, у=2,7
при х=1,5 y' =0, у=4,3

5) точки перегиба х=3 и х=1/2

y'' (-бесконечн;1/2)(1/2;3)(3;+бесконечн)

при х (-бесконечн;1/2) кривая вогнута,
при х (1/2;3) кривая выпукла,
при х (3;+бесконечн) кривая вогнута

подскажите ПОЖАЛУЙСТА правильно или нет?

при х = 1,5 y = 4,2
Остальное правильно.
Осталось найти асимптоты.

6. Асимптоты
а) вертикальная отстутствует, т.к. функция всюду непрерывна
б) наклонные y=kx+b
lim x->+- бесконечн = k
lim x->+- бесконечн [f(x) - k*x] = b
k= - lim x-> - бесконечн [(2x^2 +x +1) * e^1-x] / x = бесконечн
k= - lim x-> + бесконечн [(2x^2 +x +1) * e^1-x] / x = 0
b = - lim x-> - бесконечн (2x^2 +x +1) * e^1-x = 0
y=0 горизонтальная асимптота

Да, причем график стремится к асимптоте при x -> +00