дан интеграл в пределах от 1 до +бесконечности от выражения x/(x^3+3).

Нужно либо его вычислить, либо показать, что он расходится.
Про правилу сравнения с интегралом Дирихле 1/x^2 я делаю вывод, что он сходится. Но вот вычислить его я не могу. В онлайн решебниках мне выдают ужасные ответы, причем без решения сразу конечный результат. Я сама его получить затрудняюсь. Да и по виду решения мне все же кажется, что в пределе он будет расходиться...

Задание как звучит: исследовать на сходимость? Или: вычислить интеграл или установить, что он расходится?

Интеграл сходится.

"Вычислите интеграл или покажите, что он расходится"

Попробуйте заменить x^3=t^2

Заменила. Все пересчитала с учетом новой переменной. Но лучше по-моему интеграл не стал.

В числителе теперь t в степени 1/3, а в знаменателе t^2+3. Перед интегралом вышел коэффициент 2/3.

Дальше снова затрудняюсь

Решение и в самом деле довольно громоздкое, но ответ вроде бы получается более-менее нормальный - pi/(3^(11/6)), если я ничего не напутал. Раскладывайте подынтегральную дробь на простые, потом интегрируйте каждую отдельно и подставляйте пределы.

Ок. Спасибо.