Цех работал в нормальном режиме 60%, в перегруженном в 30%, в недогруженном в 10% случаев.
Вероятность соблюдения ИСО9000 за год в нормальном режиме равна 0.8, в перегруженном 0.5, в недогруженном 0.9.Цех работал год без нарушений ИСО9000.Вероятность того, что цех работал в нормальном режиме равна - ?

с помощью какой теоремы или формулы решить

Не совсем!

Решать надо конечно с помощью формулы Байеса т.к. надо найти апостериорную вероятноть одной из гипотез!
Введем гипотезы Н1 = {цех работал в нормальном режиме}, Н2 = {в перегруженном}, H3 = {в недогруженном}, А = {цех работал без нарушений}.
P(H1)=0,6; P(H2)=0,3; P(H3)=0,1.
P(A!H1)=0,8 P(A!H2)=0,5 P(A!H3)=0,9. Всё это дано в условии!
По формуле Байеса имеем:
P(H1!A)=(P(H1)*P(A!H1))/(P(H1)*P(A!H1)+P(H2)*P(A!H2)+P(H3)*P(A!H3))= 2/3.