Есть плотность распределения f(x)=1/(1+x^2). Дисперсия для него получается бесконечной. Это нормальное явление, я могу так и записать в решении контрольной.
PS. Ткните, пожалуйста, в правилу по оформлению формул. LaTeX, MathML или что принято на данном форуме? Просто я когда регистрировался, кажется, видел, но сейчас подзабыл. Заранее спасибо.

Про продвиутых не знаю (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Ну, вот Вам для примера: интеграл по всей прямой от x*dx тоже равен нулю? Однако тоже нечётная функция под ним, равно как и x*f(x) для распределения Коши.

Математическое ожидание существует только если интеграл сходится абсолютно - в нашем случае это отдельно конечность интегралов от x*f(x) по (-оо,0] и по [0,+оо).
Иногда имеет смысл рассматривать отдельно ситуации, когда интеграл по одной полупрямой сходится, по другой нет. Тогда матожидание объявляют равным +оо или -оо - в зависимости от того, какой интеграл бесконечен. А вот если бесконечны оба - тут просто матожидание не существует без всяких вариантов.

С дисперсией проще: интеграл от (x-c)^2*f(x) может только или быть конечным, или бесконечным (по-другому расходиться он не может, так как положительно подынтегральное выражение). Для распределения Коши он при любом с равен бесконечности.

Кстати о птичках: плотность не такая, константу явно потеряли. Площадь подграфика под f(x)=1/(1+x^2) равна пи.