решаю такую задачку:

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения. Требуется найти параметр а, интегральную функцию, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, построить графики интегральной и дифференциальной функций, найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (α, β):

f(x):=
0, if |x| >1,

[a / (1+x^2) ], if |x| <=1.

α:=0, β:= 1/sqrt(3)

Я, читая методичку пришел к выводу, что случайная величина у меня задана не "дифференциальной функцией", а плотностью распределения, потому что ведь требуется еще и найти "интегральную функцию", а это тоже самое, что и дифференциальная функция. (Поправьте, если не прав, но, зная печальный опыт общения с нашим институтом, вполне допускаю наличие ошибок в задании. такое бывает неоднократно)


Поэтому решаю по предложенному в методичке алгоритму:

чтобы найти параметр а, пользуюсь свойством, что интеграл от функции плотности будет равен единице, т.е.

a * int(dx/1+x^2) = pi/4 * a. (а сразу вынес, пределы взял от 0 до 1, т.к. |x|<=1) - не уверен насчет пределов. решал дальше: pi/4 *a = 1, => a = 4/pi.

потом нахожу интегральную функцию по свойству F(x)= indef. int [ f(x)dx ]

1) f(x):=0, if |x|>1 => F(x):= indef.int(0dx) = 0.

2) f(x):=a/(1+x^2), if |x|<=1, => F(x):a*int [dx / (1+x^2)] (от -1 до x, a:=4/pi) все это получилось равно 4/pi * arctg(x^2) - 1.

Очень хочется проверить себя на ошибки на данном этапе (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) заранее благодарен!

F(x):=

if x<-1, int(-oo,x){0dx} = 0

if |x|<1, int(-oo,x){f(x)dx} = int(-oo,-1){0dx} + int(-1,x) (2/pi)*{dx/(1+x^2)} = 0 + (2/pi)*[arctg(x)| from -1 to x] = [2arctg(x)/pi] +1

if x>1, int(-oo,-1){0dx} + int(-1,1) (2/pi)*{dx/(1+x^2)} + int(1,+oo){0dx} = 1.

так? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

а дисперсию получается только на участке -1;1 считаем, раз в остальных функция постоянна?

D(X):= int(-1,1) { (x-M(X))^2*f(x)dx} = int(-1,1) (2/pi)*{ x^2dx/(1+x^2)} = (2/pi)*(2-pi/2)=(4/pi)-1 = 0.273

проверьте пожалуйста? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)