Задание такое:написать формулу Тейлора третьего порядка в точке x0с остаточным членом в форме Пеано.f(x)=(e^(x-1))*ln(x)
x0=1
Получается следующее:
разложение для e^(x-1)=e^x*e^(-1)=e^(-1)*(1+x/1!+x^2/2!)=e^(-1)+x*e^(-1)+1/2*x^2*e^(-1)+o(x^3)
вот с разложением для ln(x) как то непонятно...
Вот разложение для ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3, а как написать для ln(x)?
и потом как я понимаю необходимо перемножить соответствующие элементы?или я неправильно понимаю, что очень вероятно.Запуталась.

нет разложения для ln(x).

Сделайте замену x-1=t.

Тогда получается у меня следующее:разложение для e^t=1+t/1!+t^2/2!
разложение для ln(t+1)=t-t^2/2!+t^3/3!, а дальше нужно перемножить вот так?
e^t*ln(t+1)=1*t-t*t^2/2!+t^2/2!*t^3/3!???????А потом перейти к х, а далее везде вместо х поставить х-х0????????

Пожалуйста подскажите правильно действую или нет.Завтра сдавать, а я что-то в правильности сомневаюсь.

Перемножьте два многочлена, только правильно.

(1+t/1!+t^2/2!)*(t-t*t^2/2!+t^2/2!*t^3/3!)=(1+t+t^2/2)*(t-t*t^3/2+t^5/12)=t^2-1/2*t^4+1/12*t^6+t-1/6*x^5+1/24*x^7 вроде так перемножила.Потом что делать?Заменить t на х и далее заменить х на х-х0?

Это откуда взялось?
e^t ~ 1+t+(t^2/2)
ln(1+t) ~t-(t^2/2)+(t^3/3)
e^t*ln(1+t)=...

(1+t/1!+t^2/2!)*(t-t^2/2!+t^3/3!)=t+1/2*t^2+1/6*t^3-1/12*t^4+1/12*t^5
А потом переходить к х?
t=x-1,тогда (x-1)+1/2*(x-1)^2+1/6*(x-1)^3-1/12*(x-1)^4+1/12*(x-1)^5
А так как х0=1,то результатом будет:
((x-1)-1)+1/2*((x-1)-1)^2+1/6*((x-1)-1)^3-1/12*((x-1)-1)^4+1/12*((x-1)-1)^5=(x-2)+1/2*(x-2)^2+1/6*(x-2)^3-1/12*(x-2)^4+1/12*(x-2)^5
Только сказано третьего порядка и остаток в форме Пеано,это значит взять три первых элемента?И остаток Пеано-о((x-2)^3)????

Коэффициент при кубе неправильно нашли.

Проверила ещё раз....Коэффициен6ты при t^3 получаются при перемножении следующих элементов:t*(-t^2/2)=-t^3/2;1*t^3/3!=t^3/6;t^2/2*t=t^3/2 итого в сумме первый и последний элемент дают ноль,остается t^3/6.Я что-то не так делаю?

Ряд для логарифма будет без факториалов.

Ой,точно.....всё исправила, а дальше все правильно?

Что получилось?

1+t/1!+t^2/2!)*(t-t^2/2+t^3/3)=t+1/2*t^2+1/3*t^3-1/12*t^4+1/6*t^5
А потом переходить к х?
t=x-1,тогда (x-1)+1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/12*(x-1)^4+1/6*(x-1)^5
А так как х0=1,то результатом будет:
((x-1)-1)+1/2*((x-1)-1)^2+1/3*((x-1)-1)^3-1/12*((x-1)-1)^4+1/6*((x-1)-1)^5=(x-2)+1/2*(x-2)^2+1/3*(x-2)^3-1/12*(x-2)^4+1/6*(x-2)^5
Только сказано третьего порядка и остаток в форме Пеано,это значит взять три первых элемента?И остаток Пеано-о((x-2)^3)????

Почему?
Да, оставить первые три слагаемых.

Ну в примерах которые нашла,если задана точка х0 не равная 0,то в конце везде вместо х ставится х-х0.Это не верно?

У Вас то же самое. Сначала перешли к ряду Маклорена, сделав замену t=x-1, потом - обратно. Не надо ничего добавлять.

Поняла.Искренне спасибо.