Поскольку при подстановке числа 4 вместо x, и предел числителя и предел знаменателя равны , применение теоремы о пределе частного невозможно.
Применим правило Лопиталя.

Где моя ошибка?

lim (x->4) (3(x+5)^(1/2)-9)/(x^(1/2)-2)

Производная числителя
(3(x+5)^(1/2)-9)'=3/(2*(x+5)^(1/2))

Производная знаменателя
(x^(1/2)-2)'=1/(2*x^(1/2))

lim (x->4) (3(x+5)^(1/2)-9)/(x^(1/2)-2)=
=lim (x->4) (3/(2*(x+5)^(1/2))/(1/(2*(x^(1/2))=
=lim (x->4) (3*x^(1/2)/(x+5)^(1/2))=3*2/3=2

В Вашей записи много чего
1)после первого "=" (x+5)^(1/2) должен быть в знаменателе малой дроби, стоящей в числителе главной дроби
2)после первого "=" в знаменателе главной дроби не должно быть "-"
3)после первого "=" в знаменателе главной дроби 2 не должна быть под корнем, а "х" должен быть в знаменателе малой дроби
4)после второго "=" почему-то 3/2 ушли под корень