Поскольку при подстановке числа 4 вместо x, и предел числителя и предел знаменателя равны , применение теоремы о пределе частного невозможно.
Применим правило Лопиталя.

Где моя ошибка?

lim (x->4) (3(x+5)^(1/2)-9)/(x^(1/2)-2)

Производная числителя
(3(x+5)^(1/2)-9)'=3/(2*(x+5)^(1/2))

Производная знаменателя
(x^(1/2)-2)'=1/(2*x^(1/2))

lim (x->4) (3(x+5)^(1/2)-9)/(x^(1/2)-2)=
=lim (x->4) (3/(2*(x+5)^(1/2))/(1/(2*(x^(1/2))=
=lim (x->4) (3*x^(1/2)/(x+5)^(1/2))=3*2/3=2

В Вашей записи много чего
1)после первого "=" (x+5)^(1/2) должен быть в знаменателе малой дроби, стоящей в числителе главной дроби
2)после первого "=" в знаменателе главной дроби не должно быть "-"
3)после первого "=" в знаменателе главной дроби 2 не должна быть под корнем, а "х" должен быть в знаменателе малой дроби
4)после второго "=" почему-то 3/2 ушли под корень

А в самом задании сказано, что необходимо воспользоваться правилом Лопиталя? Как правило, если этого нет, то и пользоваться им нельзя.

Все верно, задание было такое:
"Вычислить пределы функции"

Исправила, но мне не понятно какие формулы подставляете?
Мне очень нужно понять как решать такие задачи.
Пожалуйста.

Внизу решение.

Такого типа пределы решаются путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Для выражения 3(x+5)^(1/2)-9 сопряженным является 3(x+5)^(1/2)+9.

Что значит сопряженное?
непонятно......
На сколько я поняла решили с помощью Лопиталя

Я же указал сопряженное выражение. Оно отличается знаком между слагаемыми.
А Лопиталем здесь лучше не пользоваться, т.к. в условии этого не сказано. Работу могут просто не принять.


lim (x->4) (3(x+5)^(1/2)-9)/(x^(1/2)-2)=
=lim (x->4) (3(x+5)^(1/2)-9)(3(x+5)^(1/2)+9)(x^(1/2)+2)/(x^(1/2)-2)(x^(1/2)-2)(3(x+5)^(1/2)+9)=
=lim (x->4) (9x-36)(x^(1/2)+2)/(x-4)(3(x+5)^(1/2)+9)=...

Эти формулы подходят?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_производных

К чему они должны подходить?