Построить график функции y= f(x), используя общую схему исследования функции.

y = (2x-3) / (x^2 - 3x + 3).

1) Область определения функции x^2 - 3x + 3 ≠0.
D = 9 - 12 = -3 <0 => корней нет.

D(y) = (-∞ ; + ∞).

2) Функция непрерывна. Точек разрыва нет.

3) Функция общего вида. Не является ни четной ни нечетной.

4) Пересечение с осью Оx.

{y = 0 ; y = (2x - 3) / (x^2 - 3x +3) ;

(2x-3) / (x^2 - 3x +3) = 0.


2x-3 =0.
x = 1.5

M (1.5 ; 0) ;


Пересечение с осью Oy

{x = 0; y= (2x-3) / (x^2 - 3x +3) ;

{ x=0 ; y = -1 ;

M (0; -1);


5) Возрастание/ убывание функции. Экстремумы.

y' = (2* (x^2 - 3x + 3) - (2x - 3) (2x - 3) ) / (x^2 - 3x +3)^2 = ( 2 x^2 - 6x +6 - 4x^2 +12x - 9) / (x^2 - 3x + 3) ^2 = ( - 2x^2 + 6x - 3) / (x^2 -3x + 3)^2 .

y' = 0;

( - 2x^2 + 6x - 3) / (x^2 -3x + 3)^2 = 0;

( - 2x^2 + 6x - 3) = 0;

D= 36 - 24 = 12;

x1,2 = (-6 ± √12) / -4 = (6 ± 2√3) / 4 = (3 ± √3) / 2 ;


x1≈ 0, 634;
x2 ≈ 2, 366;

x1-точка минимума.
x2 - точка максимума.

6) Интервал выпуклости/ вогнутости точки перегиба.

y'' = ( (-4x + 6) (x^2 - 3x +3) ^2 - 2 (2x^2 - 3) (-2x^2 +6x - 3) ) / (x^2 -3x +3) ^4 =
= ( (-4x+6) ((x^2 - 3x +3)^2 + (-2x^2 + 6x -3)) ) / (x^2 - 3x +3)^4 .

y'' = 0 при (-4x+6) = 0 или ( (x^2 - 3x +3)^2 + (-2x^2 +6x -3) ) = 0
x = 1,5 (x^2 -3x + 3)^2 = 2x^2 -6x +3




7) асимптоты
а) вертикальные. Нет.
б) Наклонные.
k = Lim при x->∞ y/x = Lim при x->∞ (2x-3) / ((x^2 - 3x +3)x) = Lim при x->∞ (2x-3) / (x^3 - 3x^2 +3x) = 0;

и = Lim при x->∞ (y-kx) = Lim при x->∞ ( (2x-3)/ (x^2 - 3x +3) - 0*x ) = Lim при x->∞ (2x-3)/(x^2 -3x +3) = 0;


y=0 -горизонтальная асимптота.

8) график...



посмотрите пожалуйста где допустила ошибку и вообще так ли решаю... + если можно постройте график... заранее большое спасибо...

вот и у меня сомнения со 2 производной(

должно быть так
y'' = ( (-4x + 6) (x^2 - 3x +3) ^2 - 2(x^2 -3x +3) (2x - 3) (-2x^2 +6x - 3) ) / (x^2 -3x +3) ^4

далее сокращаем дробь на (x^2 -3x +3), и выносим в числителе множитель (-4x + 6)