Построить график функции y= f(x), используя общую схему исследования функции.
y = (2x-3) / (x^2 - 3x + 3).
1) Область определения функции x^2 - 3x + 3 ≠0.
D = 9 - 12 = -3 <0 => корней нет.
D(y) = (-∞ ; + ∞).
2) Функция непрерывна. Точек разрыва нет.
3) Функция общего вида. Не является ни четной ни нечетной.
4) Пересечение с осью Оx.
{y = 0 ; y = (2x - 3) / (x^2 - 3x +3) ;
(2x-3) / (x^2 - 3x +3) = 0.
2x-3 =0.
x = 1.5
M (1.5 ; 0) ;
Пересечение с осью Oy
{x = 0; y= (2x-3) / (x^2 - 3x +3) ;
{ x=0 ; y = -1 ;
M (0; -1);
5) Возрастание/ убывание функции. Экстремумы.
y' = (2* (x^2 - 3x + 3) - (2x - 3) (2x - 3) ) / (x^2 - 3x +3)^2 = ( 2 x^2 - 6x +6 - 4x^2 +12x - 9) / (x^2 - 3x + 3) ^2 = ( - 2x^2 + 6x - 3) / (x^2 -3x + 3)^2 .
y' = 0;
( - 2x^2 + 6x - 3) / (x^2 -3x + 3)^2 = 0;
( - 2x^2 + 6x - 3) = 0;
D= 36 - 24 = 12;
x1,2 = (-6 ± √12) / -4 = (6 ± 2√3) / 4 = (3 ± √3) / 2 ;
x1≈ 0, 634;
x2 ≈ 2, 366;
x1-точка минимума.
x2 - точка максимума.
6) Интервал выпуклости/ вогнутости точки перегиба.
y'' = ( (-4x + 6) (x^2 - 3x +3) ^2 - 2 (2x^2 - 3) (-2x^2 +6x - 3) ) / (x^2 -3x +3) ^4 =
= ( (-4x+6) ((x^2 - 3x +3)^2 + (-2x^2 + 6x -3)) ) / (x^2 - 3x +3)^4 .
y'' = 0 при (-4x+6) = 0 или ( (x^2 - 3x +3)^2 + (-2x^2 +6x -3) ) = 0
x = 1,5 (x^2 -3x + 3)^2 = 2x^2 -6x +3
7) асимптоты
а) вертикальные. Нет.
б) Наклонные.
k = Lim при x->∞ y/x = Lim при x->∞ (2x-3) / ((x^2 - 3x +3)x) = Lim при x->∞ (2x-3) / (x^3 - 3x^2 +3x) = 0;
и = Lim при x->∞ (y-kx) = Lim при x->∞ ( (2x-3)/ (x^2 - 3x +3) - 0*x ) = Lim при x->∞ (2x-3)/(x^2 -3x +3) = 0;
y=0 -горизонтальная асимптота.
8) график...
посмотрите пожалуйста где допустила ошибку и вообще так ли решаю... + если можно постройте график... заранее большое спасибо...