Метод Эйлера
y''-xy'+xy=1
x=e^t
t=lnx

y'=(dy/dt)*e^(-t)
y''=(((d^2)y/dt^2)-dy/dt)*e^(-2t)

(((d^2)y/dt^2)-dy/dt)*e^(-2t)-(e^t)*(dy/dt)*e^(-t)+(e^t)*y=1

e^(-2t)*(d^2)y/dt^2)-(dy/dt)*e^(-2t)-(dy/dt)+(e^t)*y=1

преобразовал, но е^(-2t) и (e^t) остались

А если так:

(x^2)*y''-xy'+y=1

x=e^t
t=lnx

y'=(dy/dt)*e^(-t)
y''=(((d^2)y/dt^2)-dy/dt)*e^(-2t)

(e^(2t))*(((d^2)y/dt^2)-dy/dt)*e^((-2t))-(e^t)*(dy/dt)*(e^-t)+y=1
то остаётся
((d^2)y/dt^2)-2*(dy/dt)+y=1
тогда рассмотрим общее решение:

((d^2)y/dt^2)-2*(dy/dt)+y=0
y=е^kt
y'=k*e^(kt)
y''=(k^2)*e^(kt)

(k^2)*e^(kt)-2*k*e^(kt)+е^kt=0
(е^(kt))*(k^2-2k+1)=0
k=1
тогда y=e^t
частное решение будет равно:
y*=a, y'*=0, y''*=0, a=1
тогда y*=1
значит ответ будет: y=c1*(e^(lnx))+c2