Задача на собственные значения:
y''+(k^2)*y=0 если y(0)=y(pi) и y'(pi)=0
y=e^(Lx)
y''=(L^2)*e^(Lx)
(L^2)*e^(Lx)+(k^2)*e^(Lx)=0

(e^(Lx))*((L^2)+k^2)=0
L=+-ki
y=c1cos(kx)+c2sin(kx)
y(0)=c1
y(pi)=-c1
y(0)=y(pi): c1=-c1, c1=0

y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
y'(pi)=-k*c1
-k*c2=0
тогда и с2 тоже равно 0, но это не правильно же

подскажите пожалуйста в чём ошибка

y(pi)=c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)
Кто Вам сказал,что k здесь целое? Оно ведь вообще любое может быть.
То же и для производной в точке x=pi.

тогда из c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)=с1 надо выразить с1 например, а при y'(pi)=0 выразить с2?

Из первого равенства можно выразить c1 и подставить во второе,к-е получится при расписывании условия y'(pi)=0. Оттуда найдёте c2, потом и с1.

с2 получилось
с2=(-с1*(cos(k*pi)-1))/(sin(k*pi))
во второе подставив
-k*c1*sin(k*pi)+k*cos(k*pi)*(-с1*(cos(k*pi)-1))/(sin(k*pi))=0
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)+с1*cos(k*pi)=0
т.к -k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=1
минус1+с1*cos(k*pi)=0
с1*cos(k*pi)=1
с1 не равно 0
cos(k*pi)=1
k*pi=pi+pi*n - собственное значение
k=(pi+pi*n)/pi
y=с1*cos((pi+pi*n)/pi)x - собственная функция

-1+с1*cos(k*pi)=0
с1*cos(k*pi)=1
с1 не равно 0
cos(k*pi)=1
k*pi=pi+pi*n - собственное значение
k=(pi+pi*n)/pi
y=с1*cos((pi+pi*n)/pi)x - собственная функция
правильно?

Кроме того, прежде чем делить на что-то,нужно посмотреть,не равняется ли это что-то нулю.

-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)+k*c1=0
k*c1*(-sin^2(k*pi)-cos^2(k*pi)+1)=0
k*c1=0

и почему -k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1, в условии дано y'(pi)=0, значит y'(pi)=-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=0

Потому что sin^2+cos^2=1.
Lutik, будьте внимательнее.

-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)+k*c1=0 перенёс -k*c1
k*c1*(-sin^2(k*pi)-cos^2(k*pi)+1)=0 вынес -k*c1
k*c1=0

Не обязательно! Выражение в скобках уже равно 0.

это да k может быть любым числом, но почему приравняли к -k*c1, k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*c1
в начальном условии дано y'(pi)=0, производная равна y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)
и тогда -k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)=0, вроде же так

Так,но
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*с1*cos^2(k*pi)=-k*с1*(sin^2+cos^2)=-k*c1*1=-k*c1
Не приравняли,а выразили,потому что тут тригонометрическое тождество вылезло.

ясно теперь стало, что выразилось -k*c1 , а уравнение и функция тогда выглядит как?

из условия y'(pi)=0, -k*c1=0, как уже говорилось k не обязательно равно 0, уравнение и функция тогда как?

Lutik, сделайте всё ещё раз с начала. С толком и с расстановкой, не торопясь. А то Вы сами уже запутались.
Только при преобразованиях будьте внимательнее - прежде чем делить на что-то, рассмотрите случай,когда это что-то равно нулю.

Всё сначала
y''+(k^2)*y=0 если даны y(0)=y(pi) и y'(pi)=0
y=e^(Lx)
y''=(L^2)*e^(Lx)
(L^2)*e^(Lx)+(k^2)*e^(Lx)=0

(e^(Lx))*((L^2)+k^2)=0
L=+-ki
y=c1*cos(kx)+c2*sin(kx)

y(0)=y(pi)
y(0)=c1
y(pi)=c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)
c1*cos(k*pi)+c2*sin(k*pi)=c1
c2=((-c1*(cos(k*pi)-1))/sin(k*pi))

y'(pi)=0
y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
y'(pi)=-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)
-k*c1*sin(k*pi)+k*c2*cos(k*pi)=0
подставляя с2
-k*c1*sin(k*pi)+k*((-c1*(cos(k*pi)-1))/sin(k*pi))*cos(k*pi)=0
-k*c1*sin^2(k*pi)-k*c1*cos^2(k*pi)+k*c1cos(k*pi)=0
тогда выделенное равно 1
-1+k*c1cos(k*pi)=0
k*c1cos(k*pi)=1
k*pi=pi+pi*n
k=(pi+pi*n)/pi - собственное значение

подставив в cos получится собственная функция

Выделенное равно -k*c1.
Кроме того, всё, что Вы тут написали, верно, если только sin(k*pi)!=0. А если sin(k*pi)=0, что будет тогда?

если k может быть любым числом, то sin не равен 0 или нужно решить уравнение sin(k*pi)=0, k=(pi+pi*n)/pi
после сложения sin и cos получается
-k*c1+k*c1cos(k*pi)=0
k*c1*cos(k*pi)=k*c1
cos(k*pi)=1
так?