Задача №8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость y-z=0.
Решение обычно начинают словами:
Если x={x1; x2; x3}, то Ax={x1; 1/2*x2 + 1/2*x3; 1/2*x2 + 1/2*x3} и т.д.

Вопрос: Откуда мы так лихо нашли отображение Ax ?

З.Ы. Линейная алгебра, епты, линейная! (IMG:style_emoticons/default/bang.gif)

Оно, конечно, так сразу не находится.

Найдем образ произвольной точки М(x,y,z) - пусть это точка
N(x0,y0,z0). Так как N на плоскости y-z=0, то z0=y0.

Так как MN перпендикулярна этой плоскости, то наормальный вектор этой плоскости (его координаты, очевидно, (0,1,-1)) является направляющим вектором прямой MN, а потому уравнение этой прямой в каконической форме

(*) (x-x0)/0=(y-y0)/1=(z-y0)/(-1)

Точка М лежит на этой прямой. Поэтому ее координаты ей удовлетворяют. Поэтому (*) верно. Из нее получается

x0=x, y-y0=-z+y0, т.е. y0=(1/2)*y+(1/2)*z, а z0=y0.