Помогите, пожалуйста, вычислить объема тела, ограниченного поверхностью,
полученной при вращении линий y = 2x - x^2, y = 0
а) вокруг оси Ох
б) вокруг оси Оу

y = 2x - x^2 - парабола, ветви направлены вниз.
Найдем точки пересечения с осью Ох: y = 0 => 2x - x^2 = 0
x * (2 - x) = 0 => x1 = 0, x2 = 2
При x [0;2] 2x - x^2 >= 0.
а) вокруг оси Ох: V_x = pi * int (a b ) y^2 dx
б) вокруг оси Оу: V_y = 2 * pi * int (a b ) x * y dx
Тогда получаем следующее:
а) V_x = pi * int (0 2) (2x - x^2)^2 dx = pi * int (0 2) (x^4 - 4 * x^3 + 4 * x^2) dx =
= pi * (1/5 * x^5 - x^4 + 4 * 1/3 * x^3)_{0}^{2} =
= pi * ((1/5 * 2^5 - 2^4 + 4/3 * 2^3) - (1/5 * 0^5 - 0^4 + 4/3 * 0^3)) =
= pi * (32/5 - 16 + 32/3) = pi * (96/15 - 240/15 + 160/15) = 16 * pi/15.
б) V_y = 2 * pi * int (0 2) x * (2x - x^2) dx = 2 * pi * int (0 2) (2 * x^2 - x^3) dx =
= 2 * pi * (2 * 1/3 * x^3 - 1/4 * x^4)_{0}^{2} =
= 2 * pi * ((2/3 * 2^3 - 1/4 * 2^4) - (2/3 * 0^3 - 1/4 * 0^4)) =
= 2 * pi * (16/3 - 16/4) = 2 * pi * 16 * (1/3 - 1/4) = 32 * pi * 1/12 = 8 * pi/3.